อนุพันธ์ของโคไซน์พบได้จากการเปรียบเทียบกับอนุพันธ์ของไซน์ พื้นฐานของการพิสูจน์คือคำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้วิธีอื่นได้ โดยใช้สูตรการลดตรีโกณมิติสำหรับโคไซน์และไซน์ของมุม แสดงฟังก์ชันหนึ่งในรูปของอีกฟังก์ชันหนึ่ง - โคไซน์ในรูปของไซน์ และแยกความแตกต่างของไซน์ด้วยอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน
พิจารณาตัวอย่างแรกของการหาสูตร (Cos(x))'
เพิ่มค่าเล็กน้อยเล็กน้อย Δx ให้กับอาร์กิวเมนต์ x ของฟังก์ชัน y=Cos(x) ด้วยค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์ х+Δх เราได้รับค่าใหม่ของฟังก์ชัน Cos(х+Δх) จากนั้นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น Δy จะเท่ากับ Cos(х+Δx)-Cos(x).
อัตราส่วนของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นเป็น Δх จะเป็น: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. ลองทำการแปลงที่เหมือนกันในตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์กัน จำสูตรความแตกต่างในโคไซน์ของมุม ผลลัพธ์จะเป็นผลคูณ -2Sin (Δx / 2) คูณ Sin (x + Δx / 2) เราพบขีดจำกัดของผลหารของผลคูณของผลิตภัณฑ์นี้ใน Δx เนื่องจาก Δx มีแนวโน้มจะเป็นศูนย์ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าครั้งแรก(เรียกว่ามหัศจรรย์) ขีดจำกัด lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) เท่ากับ 1 และขีดจำกัด -Sin(x+Δx/2) เท่ากับ -Sin(x) เป็น Δx มีแนวโน้มเป็นศูนย์ เขียนผลลัพธ์: อนุพันธ์ของ (Cos(x))' เท่ากับ - Sin(x).
บางคนชอบวิธีที่สองในการหาสูตรเดียวกัน
เป็นที่รู้กันจากวิชาตรีโกณมิติ: Cos(x) เท่ากับ Sin(0, 5 ∏-x) ในทำนองเดียวกัน Sin(x) เท่ากับ Cos(0, 5 ∏-x) จากนั้นเราแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน - ไซน์ของมุมเพิ่มเติม (แทนที่จะเป็นโคไซน์ x)
เราได้ผล Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' เพราะ อนุพันธ์ของไซน์ x เท่ากับโคไซน์ X เราเปลี่ยนเป็นสูตรที่สอง Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) ของการแทนที่โคไซน์ด้วยไซน์ โดยคำนึงว่า (0.5 ∏-x)'=-1 ตอนนี้เราได้ -Sin(x).ดังนั้น อนุพันธ์ของโคไซน์จะถูกหา y'=-Sin(x) สำหรับฟังก์ชัน y=Cos(x).
อนุพันธ์โคไซน์กำลังสอง
A ตัวอย่างทั่วไปที่ใช้อนุพันธ์ของโคไซน์ ฟังก์ชัน y=Cos2(x) นั้นยาก ขั้นแรก เราหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังด้วยเลขชี้กำลัง 2 มันจะเป็น 2·Cos(x) จากนั้นเราคูณมันด้วยอนุพันธ์ (Cos(x))' ซึ่งเท่ากับ -Sin(x) เราได้ y'=-2 Cos(x) Sin(x) เมื่อเราใช้สูตร Sin(2x) ไซน์ของมุมสองเท่า เราจะได้ตัวย่อสุดท้ายanswer y'=-Sin(2x)
ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
ใช้ในการศึกษาสาขาวิชาเทคนิคต่างๆ เช่น ในวิชาคณิตศาสตร์ จะอำนวยความสะดวกในการคำนวณปริพันธ์ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ พวกมันแสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติกับจินตภาพอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ ch(x)=Cos(i x) โดยที่ i คือหน่วยจินตภาพ ไฮเปอร์โบลิกไซน์ sh(x)=Sin(i x).
อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคไซน์คำนวณง่ายๆ
พิจารณาฟังก์ชัน y=(ex+e-x) /2, นี่ และ คือไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ ch(x) เราใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของผลรวมของสองนิพจน์ กฎสำหรับการเอาปัจจัยคงที่ (Const) ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ เทอมที่สอง 0.5 e-x เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน (อนุพันธ์ของมันคือ -0.5 e-x), 0.5 eх - เทอมแรก (ch(x)) '=(((ex+e-x)/2)' สามารถเขียนได้ ในอีกทางหนึ่ง: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x เนื่องจากอนุพันธ์ (e - x)' เท่ากับ -1 เท่า e-x ผลลัพธ์ที่ได้คือความแตกต่าง และนี่คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).มาดูตัวอย่างวิธีการ คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=ch(x3
+1).
ตามกฎการแยกส่วนไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อน y'=sh(x 3+1) (x
3+1)' โดยที่ (x3+1)'=3 x 2+0. คำตอบ: อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้คือ 3 x2sh(x
3+1).
อนุพันธ์ตารางของฟังก์ชันที่พิจารณา y=ch(x) และ y=Cos(x)
เมื่อแก้ตัวอย่าง ไม่จำเป็นต้องแยกความแตกต่างทุกครั้งตามแบบแผนที่เสนอ แค่ใช้การอนุมานก็เพียงพอแล้ว
ตัวอย่าง แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). คำนวณง่าย ๆ (ใช้ข้อมูลแบบตาราง), y'=-Sin(x) +บาป(2 x)-5 Sh(5 x).