เวกเตอร์เป็นวัตถุเรขาคณิตที่สำคัญด้วยคุณสมบัติของมัน ทำให้สะดวกในการแก้ปัญหามากมายบนระนาบและในอวกาศ ในบทความนี้ เราจะให้คำจำกัดความ พิจารณาลักษณะเด่น และแสดงวิธีการใช้เวกเตอร์ในอวกาศเพื่อกำหนดระนาบ
เวกเตอร์คืออะไร: กรณีสองมิติ
ก่อนอื่น จำเป็นต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงวัตถุอะไร ในเรขาคณิต ส่วนที่เป็นเส้นตรงเรียกว่าเวกเตอร์ เช่นเดียวกับส่วนอื่นๆ มันมีองค์ประกอบหลักสองประการ: จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด พิกัดของจุดเหล่านี้จะกำหนดลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเวกเตอร์อย่างเฉพาะเจาะจง
ลองมาดูตัวอย่างเวกเตอร์บนเครื่องบินกัน ในการทำเช่นนี้ เราวาดแกนตั้งฉาก x และ y สองแกนที่ตั้งฉากกัน ให้เราทำเครื่องหมายจุดใดก็ได้ P(x, y) หากเราเชื่อมต่อจุดนี้กับจุดกำเนิด (จุด O) แล้วระบุทิศทางไปยัง P แล้วเราจะได้เวกเตอร์ OP¯ (ในบทความ แถบเหนือสัญลักษณ์ระบุว่าเรากำลังพิจารณาเวกเตอร์) รูปเวกเตอร์บนเครื่องบินแสดงอยู่ด้านล่าง
ที่นี่เวกเตอร์ AB¯ อีกอันแสดงไว้ด้วย และคุณจะเห็นว่าลักษณะของมันเหมือนกับ OP¯ ทุกประการ แต่มันอยู่ในส่วนอื่นของระบบพิกัด โดยการแปลแบบขนาน OP¯ คุณจะได้เวกเตอร์จำนวนอนันต์ที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน
เวกเตอร์ในอวกาศ
ของจริงทั้งหมดที่อยู่รอบตัวเราอยู่ในพื้นที่สามมิติ การศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของตัวเลขสามมิตินั้นเกี่ยวข้องกับสเตอริโอเมทรี ซึ่งทำงานด้วยแนวคิดของเวกเตอร์สามมิติ พวกเขาแตกต่างจากสองมิติเพียงเพราะคำอธิบายของพวกเขาต้องมีการประสานงานเพิ่มเติม ซึ่งวัดตามแกน x และ y ตั้งฉากที่สาม z
รูปด้านล่างแสดงเวกเตอร์ในช่องว่าง พิกัดของจุดสิ้นสุดตามแกนแต่ละแกนจะแสดงด้วยกลุ่มสี จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตั้งอยู่ที่จุดตัดของแกนพิกัดทั้งสาม นั่นคือ มันมีพิกัด (0; 0; 0)
เนื่องจากเวกเตอร์บนเครื่องบินเป็นกรณีพิเศษของส่วนที่กำกับเชิงพื้นที่ เราจะพิจารณาเฉพาะเวกเตอร์สามมิติในบทความเท่านั้น
พิกัดเวกเตอร์ตามพิกัดที่ทราบของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
สมมติว่ามีสองจุด P(x1; y1; z1) และ Q(x2; y2; z2) วิธีการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ PQ¯ อันดับแรก จำเป็นต้องตกลงกันก่อนว่าจุดใดจะเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนวัตถุที่เป็นปัญหาตามทิศทาง นั่นคือ P คือจุดเริ่มต้น Q- ตอนจบ. ประการที่สอง พิกัดของเวกเตอร์ PQ¯ คำนวณจากความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น นั่นคือ:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
โปรดทราบว่าโดยการเปลี่ยนทิศทางของเวกเตอร์ พิกัดจะเปลี่ยนเครื่องหมายดังนี้:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
นี่หมายความว่า PQ¯=-QP¯.
เข้าใจอีกอย่างหนึ่งเป็นสิ่งสำคัญ มีการกล่าวไว้ข้างต้นว่าในระนาบมีเวกเตอร์จำนวนอนันต์เท่ากับจำนวนที่กำหนด ข้อเท็จจริงนี้ใช้ได้กับกรณีเชิงพื้นที่ด้วย อันที่จริง เมื่อเราคำนวณพิกัดของ PQ¯ ในตัวอย่างข้างต้น เราดำเนินการแปลคู่ขนานของเวกเตอร์นี้ในลักษณะที่จุดกำเนิดของมันใกล้เคียงกับจุดกำเนิด เวกเตอร์ PQ¯ สามารถวาดเป็นส่วนกำกับจากจุดเริ่มต้นไปยังจุด M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
คุณสมบัติเวกเตอร์
เช่นเดียวกับวัตถุทางเรขาคณิตใดๆ เวกเตอร์มีลักษณะเฉพาะบางประการที่สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาได้ มาสรุปกันสั้นๆ
โมดูลัสเวกเตอร์คือความยาวของส่วนที่กำกับ รู้พิกัดแล้วคำนวณง่าย สำหรับเวกเตอร์ PQ¯ ในตัวอย่างข้างต้น โมดูลัสคือ:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
เปิดโมดูลเวกเตอร์เครื่องบินคำนวณโดยสูตรที่คล้ายกันเท่านั้นโดยไม่ต้องมีส่วนร่วมของพิกัดที่สาม
ผลรวมและผลต่างของเวกเตอร์เป็นไปตามกฎสามเหลี่ยม รูปด้านล่างแสดงวิธีการบวกและลบวัตถุเหล่านี้
ในการหาเวกเตอร์ผลรวม ให้เติมจุดเริ่มต้นของวินาทีที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก เวกเตอร์ที่ต้องการจะเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกและสิ้นสุดที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ที่สอง
ความแตกต่างเกิดขึ้นโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์ที่ถูกลบนั้นถูกแทนที่ด้วยตัวตรงข้าม จากนั้นจึงทำการบวกที่อธิบายข้างต้น
นอกจากการบวกและการลบแล้ว การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขเป็นสิ่งสำคัญ หากตัวเลขเท่ากับ k จะได้เวกเตอร์ซึ่งโมดูลัสเป็น k คูณแตกต่างจากเดิม และทิศทางจะเหมือนกัน (k>0) หรือตรงข้ามกับตัวเลขเดิม (k<0)
การคูณเวกเตอร์ระหว่างกันก็ถูกกำหนดเช่นกัน เราจะแยกย่อหน้าสำหรับมันในบทความ
การคูณสเกลาร์และเวกเตอร์
สมมติว่ามีเวกเตอร์สองตัว u¯(x1; y1; z1) และ v¯(x2; y2; z2) เวกเตอร์สามารถคูณด้วยเวกเตอร์ได้สองวิธี:
- สเกลาร์. ในกรณีนี้ ผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข
- เวกเตอร์. ผลลัพธ์คือเวกเตอร์ใหม่
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ u¯ และ v¯ คำนวณได้ดังนี้:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
โดยที่ α คือมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด
สามารถแสดงได้ว่าการรู้พิกัด u¯ และ v¯ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์สะดวกในการใช้เมื่อแยกเวกเตอร์ออกเป็นสองส่วนที่มีทิศทางตั้งฉากกัน นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณความขนานหรือมุมฉากของเวกเตอร์ และเพื่อคำนวณมุมระหว่างพวกมัน
ผลคูณของ u¯ และ v¯ ให้เวกเตอร์ใหม่ซึ่งตั้งฉากกับอันเดิมและมีโมดูลัส:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
ทิศทางขึ้นหรือลงของเวกเตอร์ใหม่ถูกกำหนดโดยกฎของมือขวา (นิ้วทั้งสี่ของมือขวาถูกชี้จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรกไปยังจุดสิ้นสุดของวินาที และนิ้วหัวแม่มือยื่นขึ้น ระบุทิศทางของเวกเตอร์ใหม่) รูปด้านล่างแสดงผลของ cross product สำหรับ a¯ และ b¯.
ผลคูณไขว้ใช้ในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลข ตลอดจนกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด
เวกเตอร์และคุณสมบัติของมันสะดวกที่จะใช้เมื่อกำหนดสมการของระนาบ
สมการปกติและทั่วไปของระนาบ
มีหลายวิธีในการกำหนดระนาบ หนึ่งในนั้นคือที่มาของสมการทั่วไปของระนาบซึ่งตามมาโดยตรงจากความรู้ของเวกเตอร์ตั้งฉากกับมันและจุดที่รู้จักที่เป็นของระนาบ
สมมติว่ามีเวกเตอร์ n¯ (A; B; C) และจุด P (x0; y0; z 0). เงื่อนไขใดที่จะตอบสนองทุกจุด Q(x; y; z) ของระนาบ? เงื่อนไขนี้ประกอบด้วยความตั้งฉากของเวกเตอร์ PQ¯ ใดๆ กับค่าปกติ n¯ สำหรับเวกเตอร์ตั้งฉากสองตัว ดอทโปรดัคจะกลายเป็นศูนย์ (cos(90o)=0) เขียนสิ่งนี้:
(n¯PQ¯)=0 หรือ
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
เปิดวงเล็บ เราได้:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 หรือ
Ax + By + Cz +D=0 โดยที่ D=-Ax0-By0-Cz0.
สมการนี้เรียกว่าทั่วไปสำหรับเครื่องบิน เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์หน้า x, y และ z เป็นพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉาก n¯ เรียกว่าไกด์เครื่องบิน
สมการพาราเมทริกเวกเตอร์ของระนาบ
วิธีที่สองในการกำหนดระนาบคือการใช้เวกเตอร์สองตัวที่อยู่ในนั้น
สมมติว่ามีเวกเตอร์ u¯(x1; y1; z1) และ v¯(x2; y2; z2) ดังที่กล่าวไว้ พวกมันในอวกาศแต่ละอันสามารถแสดงด้วยส่วนกำกับที่เหมือนกันจำนวนอนันต์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีอีกจุดหนึ่งเพื่อกำหนดระนาบที่ไม่ซ้ำกัน ให้จุดนี้เป็น P(x0;y0; z0). จุดใดๆ Q(x; y; z) จะอยู่ในระนาบที่ต้องการ ถ้าเวกเตอร์ PQ¯ สามารถแสดงเป็นการรวมกันของ u¯ และ v¯ นั่นคือ เรามี:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
โดยที่ α และ β เป็นจำนวนจริงบางจำนวน จากความเท่าเทียมกันนี้ตามนิพจน์:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
เรียกว่าสมการเวกเตอร์พาราเมทริกของระนาบเทียบกับเวกเตอร์ 2 ตัว u¯ และ v¯ แทนที่พารามิเตอร์โดยพลการ α และ β เราสามารถค้นหาจุดทั้งหมด (x; y; z) ที่เป็นของระนาบนี้
จากสมการนี้ การหานิพจน์ทั่วไปของระนาบทำได้ง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะหาเวกเตอร์ทิศทาง n¯ ซึ่งจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง u¯ และ v¯ นั่นคือ ควรใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของพวกมัน
ปัญหาการหาสมการทั่วไปของระนาบ
มาดูวิธีการใช้สูตรข้างต้นแก้ปัญหาเรขาคณิตกัน สมมติว่าเวกเตอร์ทิศทางของระนาบคือ n¯(5; -3; 1) คุณควรหาสมการของระนาบ โดยรู้ว่าจุด P(2; 0; 0) เป็นของระนาบ
สมการทั่วไปเขียนเป็น:
Ax + By + Cz +D=0.
เนื่องจากรู้จักเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ สมการจะอยู่ในรูปแบบ:
5x - 3y + z +D=0.
ยังคงต้องหาเทอมฟรี D เราคำนวณจากความรู้ของพิกัด P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
ดังนั้นสมการระนาบที่ต้องการจึงมีรูปแบบดังนี้
5x - 3y + z -10=0.
รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่าเครื่องบินผลลัพธ์เป็นอย่างไร
พิกัดที่ระบุของจุดตรงกับจุดตัดของระนาบที่มีแกน x, y และ z
ปัญหาการกำหนดระนาบผ่านเวกเตอร์สองตัวและจุดหนึ่ง
ตอนนี้ สมมติว่าระนาบก่อนหน้าถูกกำหนดให้แตกต่างออกไป เวกเตอร์สองตัว u¯(-2; 0; 10) และ v¯(-2; -10/3; 0) เป็นที่รู้จัก เช่นเดียวกับจุด P(2; 0; 0) จะเขียนสมการระนาบในรูปแบบเวกเตอร์พาราเมทริกได้อย่างไร? จากการใช้สูตรที่สอดคล้องกันที่พิจารณาแล้ว เราจะได้
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
โปรดทราบว่าคำจำกัดความของสมการนี้ของระนาบ เวกเตอร์ u¯ และ v¯ สามารถใช้อะไรก็ได้ แต่มีเงื่อนไขเดียว: ต้องไม่ขนานกัน มิฉะนั้น เครื่องบินจะไม่สามารถกำหนดได้เฉพาะเจาะจง อย่างไรก็ตาม เราสามารถหาสมการของลำแสงหรือชุดของเครื่องบินได้
