การแปลงฟูเรียร์คือการแปลงที่เปรียบเทียบฟังก์ชันของตัวแปรจริงบางตัว การดำเนินการนี้จะดำเนินการทุกครั้งที่เรารับรู้เสียงที่แตกต่างกัน หูทำ "การคำนวณ" อัตโนมัติซึ่งจิตสำนึกของเราสามารถดำเนินการได้หลังจากศึกษาส่วนที่เกี่ยวข้องของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเท่านั้น อวัยวะการได้ยินของมนุษย์สร้างการเปลี่ยนแปลงอันเป็นผลมาจากเสียง (การเคลื่อนที่แบบสั่นของอนุภาคตามเงื่อนไขในตัวกลางที่ยืดหยุ่นได้ซึ่งแพร่กระจายในรูปคลื่นในตัวกลางที่เป็นของแข็ง ของเหลว หรือก๊าซ) ในรูปแบบของสเปกตรัมของค่าที่ต่อเนื่องกัน ของระดับเสียงของโทนที่มีความสูงต่างกัน หลังจากนั้นสมองจะเปลี่ยนข้อมูลนี้เป็นเสียงที่ทุกคนคุ้นเคย
การแปลงฟูเรียร์ทางคณิตศาสตร์
การเปลี่ยนแปลงของคลื่นเสียงหรือกระบวนการแกว่งอื่นๆ (จากการแผ่รังสีแสงและกระแสน้ำในมหาสมุทรเป็นวัฏจักรของดาวฤกษ์หรือกิจกรรมสุริยะ) สามารถทำได้โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น การใช้เทคนิคเหล่านี้ จึงเป็นไปได้ที่จะสลายฟังก์ชันโดยแสดงกระบวนการแกว่งเป็นชุดของส่วนประกอบไซน์ นั่นคือ เส้นโค้งคลื่นที่จากต่ำไปสูงแล้วกลับต่ำเหมือนคลื่นทะเล การแปลงฟูริเยร์ - การแปลงที่มีฟังก์ชันอธิบายเฟสหรือแอมพลิจูดของไซนัสอยด์แต่ละตัวที่สอดคล้องกับความถี่ที่แน่นอน เฟสคือจุดเริ่มต้นของเส้นโค้ง และแอมพลิจูดคือความสูง
การแปลงฟูริเยร์ (ตัวอย่างแสดงในรูปภาพ) เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังมากซึ่งใช้ในด้านวิทยาศาสตร์ต่างๆ ในบางกรณี จะใช้เป็นวิธีแก้สมการที่ค่อนข้างซับซ้อนซึ่งอธิบายกระบวนการไดนามิกที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแสง ความร้อน หรือพลังงานไฟฟ้า ในกรณีอื่นๆ จะช่วยให้คุณกำหนดองค์ประกอบปกติในสัญญาณการสั่นที่ซับซ้อนได้ ซึ่งต้องขอบคุณการที่คุณจะสามารถตีความการสังเกตจากการทดลองต่างๆ ในด้านเคมี การแพทย์ และดาราศาสตร์ได้อย่างถูกต้อง
ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์
คนแรกที่ใช้วิธีนี้คือ Jean Baptiste Fourier นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส การเปลี่ยนแปลงซึ่งต่อมาตั้งชื่อตามเขา แต่เดิมใช้เพื่ออธิบายกลไกการนำความร้อน ฟูริเยร์ใช้เวลาทั้งชีวิตในวัยผู้ใหญ่ศึกษาคุณสมบัติของความร้อน เขามีส่วนร่วมอย่างมากในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ในการกำหนดรากของสมการพีชคณิต ฟูริเยร์เป็นศาสตราจารย์ด้านการวิเคราะห์ที่โรงเรียนโปลีเทคนิค เลขาธิการสถาบันอียิปต์วิทยา ดำรงตำแหน่งในราชสำนัก ซึ่งเขาสร้างความโดดเด่นให้กับตัวเองในระหว่างการก่อสร้างถนนสู่เมืองตูริน (ภายใต้การนำของเขา มีไข้มาเลเรียมากกว่า 80,000 ตารางกิโลเมตรหนองน้ำ) อย่างไรก็ตาม กิจกรรมที่เข้มข้นทั้งหมดนี้ไม่ได้ป้องกันนักวิทยาศาสตร์จากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในปี 1802 เขาได้รับสมการที่อธิบายการแพร่กระจายของความร้อนในของแข็ง ในปี ค.ศ. 1807 นักวิทยาศาสตร์ได้ค้นพบวิธีการแก้สมการนี้ ซึ่งเรียกว่า "การแปลงฟูเรียร์"
การวิเคราะห์การนำความร้อน
นักวิทยาศาสตร์ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่ออธิบายกลไกการนำความร้อน ตัวอย่างที่สะดวกซึ่งไม่มีปัญหาในการคำนวณคือการแพร่กระจายของพลังงานความร้อนผ่านวงแหวนเหล็กที่แช่อยู่ในส่วนหนึ่งในกองไฟ เพื่อทำการทดลอง ฟูริเยร์ได้อุ่นส่วนหนึ่งของวงแหวนนี้ด้วยความร้อนแดงและฝังไว้ในทรายละเอียด หลังจากนั้นเขาทำการวัดอุณหภูมิที่ฝั่งตรงข้าม ในขั้นต้น การกระจายความร้อนไม่สม่ำเสมอ: ส่วนหนึ่งของวงแหวนเย็นและอีกส่วนหนึ่งร้อน สามารถสังเกตการไล่ระดับอุณหภูมิที่คมชัดระหว่างโซนเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ในกระบวนการกระจายความร้อนทั่วทั้งพื้นผิวของโลหะ จะมีความสม่ำเสมอมากขึ้น ดังนั้นในไม่ช้า กระบวนการนี้จึงอยู่ในรูปของไซนัส ในตอนแรก กราฟจะเพิ่มขึ้นอย่างราบรื่นและลดลงอย่างราบรื่นด้วยตามกฎของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันโคไซน์หรือไซน์ คลื่นจะค่อยๆ ลดระดับลง ส่งผลให้อุณหภูมิบนพื้นผิวทั้งหมดของวงแหวนเท่ากัน
ผู้เขียนวิธีนี้แนะนำว่าการแจกแจงแบบผิดปกติเริ่มต้นสามารถย่อยสลายเป็นไซนัสพื้นฐานจำนวนหนึ่งได้ แต่ละคนจะมีเฟสของตัวเอง (ตำแหน่งเริ่มต้น) และอุณหภูมิของตัวเองขีดสุด. นอกจากนี้ แต่ละองค์ประกอบดังกล่าวจะเปลี่ยนจากค่าต่ำสุดเป็นค่าสูงสุด และย้อนกลับเมื่อหมุนรอบวงแหวนเป็นจำนวนเต็มจำนวนครั้ง ส่วนประกอบที่มีคาบเดียวเรียกว่าฮาร์มอนิกพื้นฐาน และค่าที่มีคาบตั้งแต่สองคาบขึ้นไปเรียกว่าช่วงที่สอง เป็นต้น ดังนั้น ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายอุณหภูมิสูงสุด เฟส หรือตำแหน่งจึงเรียกว่าการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันการกระจาย นักวิทยาศาสตร์ได้ลดองค์ประกอบเดียวซึ่งอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้ยาก ให้เป็นเครื่องมือที่ใช้งานง่าย นั่นคือ อนุกรมโคไซน์และไซน์ ซึ่งรวมเป็นการกระจายดั้งเดิม
สาระสำคัญของการวิเคราะห์
ใช้การวิเคราะห์นี้กับการเปลี่ยนแปลงของการแผ่กระจายความร้อนผ่านวัตถุแข็งที่มีรูปร่างเป็นวงแหวน นักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลว่าการเพิ่มระยะเวลาขององค์ประกอบไซน์จะนำไปสู่การสลายอย่างรวดเร็ว เห็นได้ชัดเจนในฮาร์โมนิกพื้นฐานและฮาร์โมนิกที่สอง ในช่วงหลังอุณหภูมิถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดสองครั้งในครั้งเดียวและในอดีตเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าระยะทางที่ครอบคลุมโดยความร้อนในฮาร์โมนิกที่สองจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางพื้นฐาน นอกจากนี้ การไล่ระดับสีในอันที่สองจะสูงชันเป็นสองเท่าของอันแรก ดังนั้น เนื่องจากความร้อนที่ไหลแรงมากขึ้นเดินทางเป็นระยะทางสั้นเป็นสองเท่า ฮาร์มอนิกนี้จะสลายตัวเร็วกว่าฟังก์ชันพื้นฐานของเวลาสี่เท่า ในอนาคต กระบวนการนี้จะเร็วยิ่งขึ้นไปอีก นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าวิธีนี้ช่วยให้คุณคำนวณกระบวนการกระจายอุณหภูมิเริ่มต้นเมื่อเวลาผ่านไป
ท้าทายคนร่วมสมัย
อัลกอริทึมการแปลงฟูริเยร์ท้าทายพื้นฐานทางทฤษฎีของคณิตศาสตร์ในขณะนั้น ในตอนต้นของศตวรรษที่สิบเก้า นักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นที่สุด รวมทั้ง Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre และ Biot ไม่ยอมรับคำกล่าวของเขาที่ว่าการกระจายอุณหภูมิเริ่มต้นถูกย่อยสลายเป็นส่วนประกอบในรูปแบบของฮาร์มอนิกพื้นฐานและความถี่ที่สูงขึ้น อย่างไรก็ตาม Academy of Sciences ไม่สามารถเพิกเฉยต่อผลลัพธ์ที่ได้รับจากนักคณิตศาสตร์และมอบรางวัลให้กับเขาสำหรับทฤษฎีกฎการนำความร้อนรวมถึงการเปรียบเทียบกับการทดลองทางกายภาพ ในแนวทางของฟูริเยร์ การคัดค้านหลักคือข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องนั้นแทนด้วยผลรวมของฟังก์ชันไซน์หลายหน้าที่ต่อเนื่องกัน ท้ายที่สุดพวกเขาอธิบายเส้นตรงและเส้นโค้งฉีกขาด ผู้ร่วมสมัยของนักวิทยาศาสตร์ไม่เคยพบกับสถานการณ์ที่คล้ายคลึงกัน เมื่ออธิบายฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องกันโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องร่วมกัน เช่น กำลังสอง เชิงเส้น ไซนัสหรือเลขชี้กำลัง ในกรณีที่นักคณิตศาสตร์พูดถูกในคำกล่าวของเขา ผลรวมของอนุกรมอนันต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติควรลดลงเป็นลำดับขั้นที่แน่นอน ในขณะนั้น ถ้อยแถลงดังกล่าวดูเหมือนไร้สาระ อย่างไรก็ตาม แม้จะมีข้อสงสัยก็ตาม นักวิจัยบางคน (เช่น Claude Navier, Sophie Germain) ได้ขยายขอบเขตของการวิจัยและนำสิ่งเหล่านี้ไปไกลกว่าการวิเคราะห์การกระจายพลังงานความร้อน ในขณะเดียวกัน นักคณิตศาสตร์ยังคงต่อสู้กับคำถามที่ว่าผลรวมของฟังก์ชันไซน์หลายๆ อย่างสามารถลดลงให้เป็นตัวแทนที่แน่นอนของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องได้หรือไม่
อายุ 200 ปีประวัติ
ทฤษฎีนี้มีวิวัฒนาการมาเป็นเวลากว่าสองศตวรรษ ในที่สุดมันก็ก่อตัวขึ้นในที่สุด ด้วยความช่วยเหลือของฟังก์ชันเชิงพื้นที่หรือเชิงเวลาถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบไซน์ซึ่งมีความถี่เฟสและแอมพลิจูดของตัวเอง การแปลงนี้ได้มาโดยวิธีทางคณิตศาสตร์สองวิธีที่แตกต่างกัน อันแรกใช้เมื่อฟังก์ชันดั้งเดิมต่อเนื่อง และอันที่สอง - เมื่อมันถูกแทนด้วยชุดของการเปลี่ยนแปลงแต่ละรายการที่ไม่ต่อเนื่องกัน หากนิพจน์ได้มาจากค่าที่กำหนดโดยช่วงที่ไม่ต่อเนื่องก็สามารถแบ่งออกเป็นนิพจน์ไซน์หลายตัวที่มีความถี่ไม่ต่อเนื่อง - จากต่ำสุดแล้วสองครั้งสามครั้งและสูงกว่าค่าหลัก ผลรวมดังกล่าวเรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์ ถ้านิพจน์เริ่มต้นได้รับค่าสำหรับจำนวนจริงแต่ละจำนวน ก็สามารถแยกย่อยออกเป็นหลายไซน์ของความถี่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้ โดยทั่วไปเรียกว่าอินทิกรัลฟูริเยร์ และการแก้ปัญหาหมายถึงการแปลงอินทิกรัลของฟังก์ชัน ไม่ว่าจะได้การแปลงมาด้วยวิธีใด จะต้องระบุตัวเลขสองตัวสำหรับแต่ละความถี่: แอมพลิจูดและความถี่ ค่าเหล่านี้แสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อนเดียว ทฤษฎีการแสดงออกของตัวแปรที่ซับซ้อนร่วมกับการแปลงฟูริเยร์ทำให้สามารถคำนวณการออกแบบวงจรไฟฟ้าต่างๆ ได้ การวิเคราะห์การสั่นสะเทือนทางกล การศึกษากลไกการแพร่กระจายคลื่น และอื่นๆ
ฟูเรียร์แปลงร่างวันนี้
วันนี้การศึกษากระบวนการนี้ส่วนใหญ่ลดลงจนพบว่ามีประสิทธิภาพวิธีการเปลี่ยนจากฟังก์ชันไปเป็นรูปแบบที่แปลงแล้วและในทางกลับกัน โซลูชันนี้เรียกว่าการแปลงฟูริเยร์โดยตรงและแบบผกผัน มันหมายความว่าอะไร? เพื่อกำหนดอินทิกรัลและสร้างการแปลงฟูริเยร์โดยตรง เราสามารถใช้วิธีทางคณิตศาสตร์หรือวิธีวิเคราะห์ก็ได้ แม้ว่าจะมีปัญหาบางอย่างเกิดขึ้นเมื่อใช้มันในทางปฏิบัติ แต่ปริพันธ์ส่วนใหญ่ได้ถูกค้นพบและรวมอยู่ในหนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์แล้ว วิธีเชิงตัวเลขสามารถใช้ในการคำนวณนิพจน์ที่มีรูปแบบตามข้อมูลการทดลอง หรือฟังก์ชันที่ไม่มีอินทิกรัลในตารางและแสดงได้ยากในรูปแบบการวิเคราะห์
ก่อนการมาถึงของคอมพิวเตอร์ การคำนวณการแปลงดังกล่าวนั้นน่าเบื่อมาก พวกเขาต้องการการดำเนินการด้วยตนเองของการดำเนินการเลขคณิตจำนวนมาก ซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนจุดที่อธิบายฟังก์ชันคลื่น เพื่อความสะดวกในการคำนวณ วันนี้มีโปรแกรมพิเศษที่ทำให้สามารถใช้วิธีการวิเคราะห์แบบใหม่ได้ ดังนั้นในปี 1965 James Cooley และ John Tukey ได้สร้างซอฟต์แวร์ที่รู้จักกันในชื่อ "Fast Fourier Transform" ช่วยให้คุณประหยัดเวลาในการคำนวณโดยลดจำนวนการคูณในการวิเคราะห์เส้นโค้ง วิธีการแปลงฟูริเยร์แบบเร็วนั้นอาศัยการแบ่งเส้นโค้งออกเป็นค่าตัวอย่างที่สม่ำเสมอจำนวนมาก ดังนั้น จำนวนการคูณจะลดลงครึ่งหนึ่งด้วยจำนวนคะแนนที่ลดลงเช่นเดียวกัน
ใช้การแปลงฟูริเยร์
นี่กระบวนการนี้ใช้ในสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ: ในทฤษฎีจำนวน ฟิสิกส์ การประมวลผลสัญญาณ คอมบินาทอริก ทฤษฎีความน่าจะเป็น การเข้ารหัส สถิติ สมุทรศาสตร์ ทัศนศาสตร์ อะคูสติก เรขาคณิต และอื่นๆ ความเป็นไปได้ที่หลากหลายของแอปพลิเคชันจะขึ้นอยู่กับคุณลักษณะที่มีประโยชน์จำนวนหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า "คุณสมบัติการแปลงฟูริเยร์" พิจารณาพวกเขา
1. การแปลงฟังก์ชันเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น และด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานที่เหมาะสม จะรวมกันเป็นหนึ่งเดียว คุณสมบัตินี้เรียกว่าทฤษฎีบท Parseval หรือโดยทั่วไปทฤษฎีบท Plancherel หรือความเป็นคู่ของ Pontryagin
2. การเปลี่ยนแปลงสามารถย้อนกลับได้ ยิ่งไปกว่านั้น ผลลัพธ์ที่ได้กลับมีรูปแบบเกือบเหมือนกับในสารละลายโดยตรง
3. นิพจน์ฐานไซน์เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าการแทนค่าดังกล่าวจะเปลี่ยนสมการเชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์คงที่เป็นสมการพีชคณิตธรรมดา
4. ตามทฤษฎีบท "การบิด" กระบวนการนี้จะเปลี่ยนการดำเนินการที่ซับซ้อนเป็นการคูณเบื้องต้น
5. การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องสามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วบนคอมพิวเตอร์โดยใช้วิธี "เร็ว"
พันธุ์ของการแปลงฟูริเยร์
1. ส่วนใหญ่แล้ว คำนี้ใช้เพื่อแสดงถึงการแปลงต่อเนื่องที่ให้นิพจน์ที่รวมกำลังสองเป็นกำลังสองเป็นผลรวมของนิพจน์เลขชี้กำลังที่ซับซ้อนด้วยความถี่เชิงมุมและแอมพลิจูดที่เฉพาะเจาะจง สายพันธุ์นี้มีหลายรูปแบบ ซึ่งสามารถแตกต่างกันตามค่าสัมประสิทธิ์คงที่ วิธีการต่อเนื่องรวมถึงตารางการแปลงซึ่งสามารถพบได้ในหนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์ กรณีทั่วไปคือการแปลงเศษส่วน โดยกระบวนการที่กำหนดสามารถยกกำลังจริงที่ต้องการได้
2. โหมดต่อเนื่องเป็นลักษณะทั่วไปของเทคนิคเบื้องต้นของอนุกรมฟูริเยร์ที่กำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันหรือนิพจน์ตามคาบต่างๆ ที่มีอยู่ในพื้นที่จำกัดและแสดงเป็นอนุกรมของไซนูซอยด์
3. การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง วิธีนี้ใช้ในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์สำหรับการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และสำหรับการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล ในการดำเนินการคำนวณประเภทนี้ จำเป็นต้องมีฟังก์ชันที่กำหนดจุดแต่ละจุด พื้นที่ที่เป็นคาบหรือขอบเขตบนเซตแบบไม่ต่อเนื่องแทนที่จะเป็นอินทิกรัลฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง การแปลงสัญญาณในกรณีนี้แสดงเป็นผลรวมของไซนัส ในขณะเดียวกัน การใช้วิธีการ "เร็ว" ทำให้สามารถใช้วิธีแก้ปัญหาแบบแยกส่วนกับปัญหาในทางปฏิบัติใดๆ ได้
4. การแปลงฟูริเยร์แบบมีหน้าต่างเป็นรูปแบบทั่วไปของวิธีการแบบคลาสสิก ในทางตรงกันข้ามกับวิธีแก้ปัญหามาตรฐาน เมื่อใช้สเปกตรัมของสัญญาณ ซึ่งถ่ายในช่วงเต็มรูปแบบของการมีอยู่ของตัวแปรที่กำหนด เฉพาะการกระจายความถี่ท้องถิ่นเท่านั้นที่น่าสนใจ โดยที่ตัวแปรดั้งเดิม (เวลา) จะถูกคงไว้.
5. การแปลงฟูริเยร์สองมิติ วิธีนี้ใช้เพื่อทำงานกับอาร์เรย์ข้อมูลสองมิติ ในกรณีนี้ ขั้นแรก การแปลงจะดำเนินการในทิศทางเดียว จากนั้นในอื่นๆ
สรุป
วันนี้วิธีฟูริเยร์ได้รับการยึดมั่นอย่างแน่นแฟ้นในด้านวิทยาศาสตร์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในปี 1962 รูปทรงเกลียวคู่ของ DNA ถูกค้นพบโดยใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์ร่วมกับการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ ส่วนหลังมุ่งเน้นไปที่ผลึกของเส้นใย DNA ส่งผลให้ภาพที่ได้จากการเลี้ยวเบนของรังสีถูกบันทึกลงบนแผ่นฟิล์ม ภาพนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับค่าของแอมพลิจูดเมื่อใช้การแปลงฟูริเยร์เป็นโครงสร้างผลึกที่กำหนด ข้อมูลเฟสได้มาจากการเปรียบเทียบแผนที่การเลี้ยวเบนของ DNA กับแผนที่ที่ได้จากการวิเคราะห์โครงสร้างทางเคมีที่คล้ายคลึงกัน เป็นผลให้นักชีววิทยาได้ฟื้นฟูโครงสร้างผลึก - ฟังก์ชั่นดั้งเดิม
การแปลงฟูริเยร์มีบทบาทสำคัญในการศึกษาอวกาศ เซมิคอนดักเตอร์และฟิสิกส์พลาสมา อะคูสติกไมโครเวฟ สมุทรศาสตร์ เรดาร์ แผ่นดินไหววิทยา และการสำรวจทางการแพทย์