เรขาคณิตนั้นสวยงามเพราะในทางตรงกันข้ามกับพีชคณิตที่ไม่ชัดเจนเสมอไปว่าคุณคิดอย่างไรและเพราะอะไร มันทำให้มองเห็นวัตถุได้ โลกมหัศจรรย์ของร่างกายที่หลากหลายนี้ตกแต่งด้วยรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติหรือที่เรียกว่าของแข็งแบบพลาโตนิก (platonic solids) มีคุณสมบัติพิเศษเฉพาะตัว สมมติฐานทางวิทยาศาสตร์หลายประการเกี่ยวข้องกับวัตถุเหล่านี้ เมื่อคุณเริ่มศึกษารูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ คุณเข้าใจว่าคุณแทบไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับแนวคิดเช่นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ การนำเสนอสิ่งของเหล่านี้ที่โรงเรียนไม่น่าสนใจเสมอไป หลายคนจำไม่ได้ด้วยซ้ำว่าเรียกว่าอะไร คนส่วนใหญ่จำเฉพาะลูกบาศก์เท่านั้น ไม่มีส่วนใดในรูปทรงเรขาคณิตที่สมบูรณ์แบบเท่ากับรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป ชื่อทั้งหมดของร่างกายเรขาคณิตเหล่านี้มาจากกรีกโบราณ หมายถึงจำนวนใบหน้า: จัตุรมุข - สี่ด้าน, หกเหลี่ยม - หกด้าน, แปดด้าน - แปดด้าน, สิบสองหน้า - สิบสองด้าน, icosahedron - ยี่สิบด้าน ร่างกายเรขาคณิตทั้งหมดเหล่านี้ครอบครองสถานที่สำคัญในแนวคิดเรื่องจักรวาลของเพลโต สี่ของพวกเขาเป็นตัวเป็นตนองค์ประกอบหรือหน่วยงาน: จัตุรมุข - ไฟ, icosahedron - น้ำ, ลูกบาศก์ - ดิน, แปดด้าน - อากาศ สิบสองหน้าเป็นตัวเป็นตนทุกอย่างที่มีอยู่ ถือว่าเป็นสัญลักษณ์หลักเพราะเป็นสัญลักษณ์ของจักรวาล
ลักษณะทั่วไปของแนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม
รูปทรงหลายเหลี่ยมคือคอลเลกชั่นของรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด เช่น:
- แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละด้านอยู่ในเวลาเดียวกันกับด้านของรูปหลายเหลี่ยมอื่นเพียงอันเดียวที่อยู่ด้านเดียวกัน
- จากรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูป คุณสามารถหารูปอื่นๆ ได้โดยส่งรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน
รูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมคือใบหน้า ส่วนด้านข้างเป็นขอบ จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม หากแนวคิดของรูปหลายเหลี่ยมถูกเข้าใจว่าเป็นเส้นหักแบบปิดเรียบ แนวคิดหนึ่งก็มาถึงคำจำกัดความหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยม ในกรณีที่แนวคิดนี้หมายถึงส่วนหนึ่งของระนาบที่ถูกจำกัดด้วยเส้นหัก คุณควรทำความเข้าใจพื้นผิวที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนคือร่างกายที่วางอยู่บนด้านหนึ่งของระนาบที่อยู่ติดกับใบหน้า
อีกคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมและองค์ประกอบของมัน
รูปทรงหลายเหลี่ยมคือพื้นผิวที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่จำกัดตัวเรขาคณิต พวกเขาคือ:
- ไม่นูน;
- นูน (ถูกและผิด).
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีความสมมาตรสูงสุด องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:
- จัตุรมุข: 6 ขอบ 4 หน้า 5 จุดยอด;
- หกเหลี่ยม (ลูกบาศก์): 12, 6, 8;
- โดเดคahedron: 30, 12, 20;
- แปดเหลี่ยม: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
ทฤษฎีบทออยเลอร์
มันสร้างความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของขอบ จุดยอด และใบหน้าที่เทียบเท่าโทโพโลยีกับทรงกลม โดยการเพิ่มจำนวนจุดยอดและใบหน้า (B + D) ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติต่างๆ แล้วเปรียบเทียบกับจำนวนขอบ สามารถสร้างรูปแบบได้หนึ่งรูปแบบ: ผลรวมของจำนวนใบหน้าและจุดยอดเท่ากับจำนวนขอบ (P) ที่เพิ่มขึ้น โดย 2 คุณจะได้สูตรง่ายๆ:
B + D=R + 2
สูตรนี้เป็นจริงสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทั้งหมด
คำจำกัดความพื้นฐาน
แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติไม่สามารถอธิบายได้ในประโยคเดียว มันมีความหมายและมากมายมหาศาล เพื่อให้ร่างกายได้รับการยอมรับเช่นนี้ จะต้องเป็นไปตามคำจำกัดความหลายประการ ดังนั้น ตัวเรขาคณิตจะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
- นูน;
- จำนวนขอบเท่ากันมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด;
- ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ เท่ากัน;
- มุม dihedral ทั้งหมดเท่ากัน
คุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมี 5 ประเภท:
- Cube (hexahedron) - มีมุมแบนที่ด้านบนสุดคือ 90°มีมุม 3 ด้าน ผลรวมของมุมแบนด้านบนคือ 270°
- จัตุรมุข - มุมแบนที่ด้านบน - 60°. มีมุม 3 ด้าน ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 180°
- Octahedron - มุมยอดแบน - 60°. มีมุม 4 ด้าน ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 2400°
- Dodecahedron - มุมแบนที่จุดยอด 108° มีมุม 3 ด้าน ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 324°
- Icosahedron - มีมุมแบนที่ด้านบน - 60° มีมุม 5 ด้าน ผลรวมของมุมแบนที่ด้านบนคือ 300°
พื้นที่รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
พื้นที่ผิวของตัวเรขาคณิตเหล่านี้ (S) คำนวณจากพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติคูณด้วยจำนวนใบหน้า (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
ค่านี้คำนวณโดยการคูณปริมาตรของพีระมิดปกติที่ฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมปกติด้วยจำนวนใบหน้าและความสูงคือรัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ (r):
V=1: 3rS
ปริมาณของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมีปริมาตรต่างกันเช่นเดียวกับตัวเรขาคณิตอื่นๆ ด้านล่างนี้คือสูตรที่คุณสามารถคำนวณได้:
- จัตุรมุข: α x 3√2: 12;
- octahedron: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexahedron (คิวบ์): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.
องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
ทรง Hexahedron และ octahedron เป็นรูปเรขาคณิตคู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกมันสามารถหาได้จากกันและกัน ถ้าจุดศูนย์ถ่วงของใบหน้าด้านหนึ่งเป็นจุดยอดของอีกด้านหนึ่ง และในทางกลับกัน icosahedron และ dodecahedron เป็นแบบคู่ เฉพาะจัตุรมุขเท่านั้นที่เป็นสองเท่าของตัวมันเอง ตามวิธี Euclid คุณสามารถรับ dodecahedron จาก hexahedron โดยการสร้าง "หลังคา" บนใบหน้าของลูกบาศก์ จุดยอดของจัตุรมุขจะเป็นจุดยอด 4 จุดใดๆ ของลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ติดกันเป็นคู่ตามขอบ จากทรงหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) คุณจะได้รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติอื่นๆ แม้ว่าจะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติจำนวนนับไม่ถ้วน แต่ก็มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียง 5 รูปเท่านั้น
รัศมีของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
มีทรงกลม 3 ลูกที่สัมพันธ์กับตัวเรขาคณิตแต่ละตัวเหล่านี้:
- อธิบายไว้ ผ่านจุดสูงสุด;
- ถูกจารึกไว้โดยเอาแต่ละหน้ามาสัมผัสตรงกลาง
- มัธยฐาน แตะขอบทั้งหมดตรงกลาง
รัศมีของทรงกลมที่อธิบายคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
รัศมีของทรงกลมจารึกคำนวณโดยสูตร:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
โดยที่ θ คือมุมไดเฮดรัลระหว่างใบหน้าที่อยู่ติดกัน
รัศมีของทรงกลมมัธยฐานสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:
ρ=a cos π/p: 2 บาป π/h,
โดยที่ h ค่า=4, 6, 6, 10 หรือ 10 อัตราส่วนของรัศมีที่ขีดเส้นรอบวงและที่จารึกไว้มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับ p และ q มันคำนวณโดยสูตร:
R/r=tg π/p x tg π/q
สมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม
ความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทำให้เกิดความสนใจในตัวเรขาคณิตเหล่านี้ เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นการเคลื่อนไหวของร่างกายในอวกาศซึ่งทำให้มีจุดยอดใบหน้าและขอบเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ภายใต้ผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงสมมาตร ขอบ จุดยอด ใบหน้าอาจคงตำแหน่งเดิมหรือเคลื่อนไปยังตำแหน่งเดิมของขอบ จุดยอด หรือหน้าอื่น
องค์ประกอบของความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นลักษณะเฉพาะของร่างกายเรขาคณิตดังกล่าวทุกประเภท ที่นี้เรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันซึ่งทำให้จุดใดๆ อยู่ในตำแหน่งเดิม ดังนั้น เมื่อคุณหมุนปริซึมหลายเหลี่ยม คุณจะได้สมมาตรหลายแบบ สิ่งใดสิ่งหนึ่งสามารถแสดงเป็นผลจากการสะท้อน ความสมมาตรที่เกิดจากแสงสะท้อนเป็นจำนวนคู่เรียกว่าเส้นตรง หากเป็นผลคูณของการสะท้อนเป็นจำนวนคี่ จะเรียกว่าผกผัน ดังนั้นการหมุนรอบเส้นทั้งหมดจึงเป็นความสมมาตรโดยตรง การสะท้อนของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นความสมมาตรผกผัน
เพื่อให้เข้าใจองค์ประกอบสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมากขึ้น เราสามารถยกตัวอย่างของจัตุรมุข เส้นตรงใดๆ ที่ตัดผ่านจุดยอดจุดใดจุดหนึ่งและจุดศูนย์กลางของรูปทรงเรขาคณิตนี้จะลากผ่านจุดศูนย์กลางของใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามกับจุดนั้นด้วย แต่ละ 120° และ 240° หมุนรอบเส้นเป็นพหูพจน์ความสมมาตรของจัตุรมุข เนื่องจากมีจุดยอด 4 จุดและ 4 ใบหน้า จึงมีความสมมาตรทางตรงเพียงแปดจุด เส้นใดๆ ที่ลากผ่านตรงกลางขอบและจุดศูนย์กลางของลำตัวนี้ลากผ่านตรงกลางของขอบอีกด้าน การหมุน 180° ใดๆ เรียกว่า ครึ่งเลี้ยว รอบเส้นตรงถือเป็นความสมมาตร เนื่องจากจัตุรมุขมีขอบสามคู่ จึงมีสมมาตรตรงอีกสามอัน จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่าจำนวนสมมาตรโดยตรงทั้งหมด รวมทั้งการแปลงที่เหมือนกัน จะถึงสิบสอง จัตุรมุขไม่มีสมมาตรโดยตรงอื่น ๆ แต่มีสมมาตรผกผัน 12 อัน ดังนั้นจัตุรมุขจึงมีลักษณะสมมาตรทั้งหมด 24 สมมาตร เพื่อความชัดเจน คุณสามารถสร้างแบบจำลองจัตุรมุขปกติจากกระดาษแข็ง และตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเรขาคณิตนี้มีความสมมาตรเพียง 24 สมมาตรเท่านั้น
dodecahedron และ icosahedron อยู่ใกล้กับทรงกลมของร่างกายมากที่สุด icosahedron มีจำนวนใบหน้ามากที่สุด มุมไดฮีดรัลที่ใหญ่ที่สุด และสามารถกดให้แน่นที่สุดกับทรงกลมที่จารึกไว้ สิบสองเหลี่ยมมีข้อบกพร่องเชิงมุมที่เล็กที่สุด ซึ่งเป็นมุมทึบที่ใหญ่ที่สุดที่จุดยอด เขาสามารถเติมทรงกลมที่บรรยายไว้ได้สูงสุด
การกวาดรูปทรงหลายเหลี่ยม
รูปทรงหลายเหลี่ยมที่แกะกล่องธรรมดาๆ ที่เราเคยติดกาวในวัยเด็ก มีหลายแนวความคิด หากมีรูปหลายเหลี่ยมหลายเหลี่ยม ซึ่งแต่ละด้านระบุด้วยด้านเดียวของรูปทรงหลายเหลี่ยม การระบุด้านข้างจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ:
- จากแต่ละรูปหลายเหลี่ยม คุณสามารถไปที่รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านที่ระบุ;
- ด้านที่ระบุต้องมีความยาวเท่ากัน
มันคือชุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ซึ่งเรียกว่าการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม แต่ละร่างเหล่านี้มีหลายตัว ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์มี 11 ลูก
