ตัดสินโดยความนิยมของคำขอ "ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ - ข้อพิสูจน์สั้นๆ" ปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้เป็นที่สนใจของหลาย ๆ คนจริงๆ ทฤษฎีบทนี้ถูกกล่าวถึงครั้งแรกโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 บนสำเนาเลขคณิต โดยเขาอ้างว่าเขามีวิธีแก้ปัญหาที่ใหญ่เกินกว่าจะวางลงบนขอบกระดาษได้
การพิสูจน์ที่ประสบความสำเร็จครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี 1995 ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทแฟร์มาต์โดย Andrew Wiles ได้รับการอธิบายว่าเป็น "ความก้าวหน้าที่น่าทึ่ง" และทำให้ Wiles ได้รับรางวัล Abel Prize ในปี 2559 แม้ว่าจะอธิบายไว้ค่อนข้างสั้น แต่การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ก็พิสูจน์ให้เห็นถึงทฤษฎีบทโมดูลาร์มากมาย และได้เปิดแนวทางใหม่ๆ ให้กับปัญหาอื่นๆ มากมาย และวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการยกโมดูลาร์ ความสำเร็จเหล่านี้ทำให้คณิตศาสตร์ก้าวหน้าไปอีก 100 ปีในอนาคต การพิสูจน์ทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของแฟร์มาต์ในวันนี้ไม่ใช่เป็นอะไรที่ไม่ธรรมดา
ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขได้กระตุ้นการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19 และการค้นหาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทแบบแยกส่วนในศตวรรษที่ 20 นี่เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ และจนกระทั่งการพิสูจน์การแบ่งส่วนแบบเต็มของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ มันอยู่ใน Guinness Book of Records ว่าเป็น "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุด" ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่ มีหลักฐานที่ไม่สำเร็จจำนวนมากที่สุด
ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์
สมการพีทาโกรัส x2 + y2=z2 มีจำนวนบวกเป็นอนันต์ คำตอบจำนวนเต็มสำหรับ x, y และ z วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้เรียกว่าทรินิตี้พีทาโกรัส ราวปี ค.ศ. 1637 แฟร์มาต์เขียนไว้ที่ขอบหนังสือว่าสมการทั่วไปที่มากขึ้น a + b =cไม่มี คำตอบในจำนวนธรรมชาติถ้า n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 แม้ว่าแฟร์มาต์เองอ้างว่ามีวิธีแก้ไขปัญหาของเขา เขาไม่ได้ทิ้งรายละเอียดใดๆ เกี่ยวกับข้อพิสูจน์ของมัน หลักฐานเบื้องต้นของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ อ้างสิทธิ์โดยผู้สร้าง เป็นการประดิษฐ์ที่โอ้อวดมากกว่า หนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ถูกค้นพบ 30 ปีหลังจากการตายของเขา สมการนี้เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ยังคงแก้โจทย์คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเวลาสามศตวรรษครึ่ง
ในที่สุดทฤษฎีบทก็กลายเป็นปัญหาที่แก้ไม่ตกที่โดดเด่นที่สุดปัญหาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ ความพยายามที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ทำให้เกิดการพัฒนาที่สำคัญของทฤษฎีจำนวนและเนื้อเรื่องเวลา ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กลายเป็นที่รู้จักในฐานะปัญหาที่แก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์
ประวัติโดยย่อของหลักฐาน
ถ้า n=4 ตามที่แฟร์มาต์พิสูจน์ด้วยตัวเอง ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับดัชนี n ที่เป็นจำนวนเฉพาะ ในอีกสองศตวรรษข้างหน้า (1637-1839) การคาดเดาได้รับการพิสูจน์สำหรับจำนวนเฉพาะ 3, 5 และ 7 เท่านั้น แม้ว่า Sophie Germain ได้ปรับปรุงและพิสูจน์แนวทางที่ใช้กับจำนวนเฉพาะของคลาสทั้งหมด ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 Ernst Kummer ขยายขอบเขตนี้และพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับจำนวนเฉพาะปกติทั้งหมด โดยวิเคราะห์เฉพาะจำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติ จากงานของ Kummer และการใช้การวิจัยคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อน นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ก็สามารถขยายคำตอบของทฤษฎีบทได้ โดยมีเป้าหมายที่จะครอบคลุมเลขชี้กำลังหลักทั้งหมดถึงสี่ล้านตัว แต่การพิสูจน์เลขชี้กำลังทั้งหมดยังไม่สามารถใช้ได้ (หมายความว่านักคณิตศาสตร์ มักจะคิดว่าคำตอบของทฤษฎีบทนั้นเป็นไปไม่ได้ ยากมาก หรือไม่สามารถบรรลุได้ด้วยความรู้ในปัจจุบัน)
ผลงานของชิมูระกับทานิยามะ
ในปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น Goro Shimura และ Yutaka Taniyama สงสัยว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างเส้นโค้งวงรีกับรูปแบบโมดูลาร์ ซึ่งเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมาก ที่รู้จักกันในชื่อ Taniyama-Shimura-Weyl และ (ในที่สุด) ในฐานะที่เป็นทฤษฎีบทแบบแยกส่วน มันมีอยู่ด้วยตัวของมันเอง โดยไม่มีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างชัดเจน ตัวมันเองได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ แต่ก็ถือว่า (เช่นทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ ที่นั่นในเวลาเดียวกัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (โดยการหารและใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน) ได้ดำเนินการเพียงครึ่งศตวรรษต่อมา
ในปี 1984 Gerhard Frey สังเกตเห็นความเชื่อมโยงที่ชัดเจนระหว่างปัญหาทั้งสองที่ไม่เกี่ยวข้องและไม่ได้รับการแก้ไขก่อนหน้านี้ การยืนยันโดยสมบูรณ์ว่าทฤษฎีบททั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดได้รับการตีพิมพ์ในปี 1986 โดย Ken Ribet ซึ่งอิงจากการพิสูจน์บางส่วนโดย Jean-Pierre Serra ซึ่งพิสูจน์ทั้งหมดยกเว้นเพียงส่วนหนึ่ง ที่รู้จักกันในชื่อ "สมมติฐานเอปซิลอน" พูดง่ายๆ ก็คือ งานเหล่านี้โดย Frey, Serra และ Ribe แสดงให้เห็นว่าหากทฤษฎีบทโมดูลาร์สามารถพิสูจน์ได้ อย่างน้อยก็สำหรับเส้นโค้งวงรีคลาสกึ่งเสถียร การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะถูกค้นพบไม่ช้าก็เร็วเช่นกัน โซลูชันใดๆ ที่สามารถขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็สามารถนำมาใช้เพื่อขัดแย้งกับทฤษฎีบทโมดูลาร์ได้ ดังนั้น หากทฤษฎีบทโมดูลาร์กลายเป็นจริง ตามคำจำกัดความแล้ว ก็ไม่มีทางแก้ไขที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งหมายความว่ามันควรจะได้รับการพิสูจน์ในไม่ช้านี้
แม้ว่าทฤษฎีบททั้งสองจะเป็นโจทย์ที่ยากในวิชาคณิตศาสตร์ แต่ถือว่าแก้ไม่ได้ งานของคนญี่ปุ่นสองคนเป็นข้อเสนอแนะแรกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถขยายและพิสูจน์ตัวเลขทั้งหมดได้อย่างไร ไม่ใช่แค่บางตัวเลข สิ่งสำคัญสำหรับนักวิจัยที่เลือกหัวข้อของการศึกษาคือความจริงที่ว่าในทางตรงกันข้ามกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ทฤษฎีบทโมดูลาร์เป็นพื้นที่หลักของการวิจัยซึ่งหลักฐานได้รับการพัฒนาและไม่ใช่แค่ความแปลกประหลาดทางประวัติศาสตร์เท่านั้น ดังนั้นเวลาที่ใช้ไปกับงานของเธอสามารถพิสูจน์ได้จากมุมมองของมืออาชีพ อย่างไรก็ตาม ความเห็นเป็นเอกฉันท์ทั่วไปคือการแก้ไขการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระพิสูจน์แล้วว่าไม่เหมาะสม
ทฤษฎีบทสุดท้ายของฟาร์ม: หลักฐานของไวลส์
เมื่อได้เรียนรู้ว่า Ribet ได้พิสูจน์ทฤษฎีของ Frey ว่าถูกต้อง นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Andrew Wiles ผู้สนใจทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ตั้งแต่วัยเด็กและมีประสบการณ์ในการทำงานกับเส้นโค้งวงรีและโดเมนที่อยู่ติดกัน ตัดสินใจลองพิสูจน์ Taniyama-Shimura การคาดเดาเป็นวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปีพ.ศ. 2536 หกปีหลังจากประกาศเป้าหมายของเขา ขณะที่พยายามแก้ปัญหาในการแก้ทฤษฎีบทอย่างลับๆ ไวล์สพยายามพิสูจน์การคาดเดาที่เกี่ยวข้อง ซึ่งจะช่วยให้เขาพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ เอกสารของ Wiles มีขนาดใหญ่และขอบเขต
พบข้อบกพร่องในส่วนหนึ่งของบทความต้นฉบับระหว่างการตรวจสอบโดยเพื่อน และต้องใช้เวลาอีกหนึ่งปีในการร่วมมือกับ Richard Taylor เพื่อร่วมกันแก้ทฤษฎีบท ผลที่ตามมาก็คือ บทพิสูจน์สุดท้ายของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็ไม่นานนัก ในปี 1995 หนังสือเล่มนี้ได้รับการตีพิมพ์ในระดับที่เล็กกว่างานคณิตศาสตร์ก่อนหน้าของ Wiles มาก ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเขาไม่ได้เข้าใจผิดในข้อสรุปก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท ความสำเร็จของ Wiles ได้รับการเผยแพร่อย่างกว้างขวางในสื่อยอดนิยมและเผยแพร่ในหนังสือและรายการโทรทัศน์ ส่วนที่เหลือของการคาดเดา Taniyama-Shimura-Weil ซึ่งขณะนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วและรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาร์ ซึ่งต่อมาได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่สร้างงานของ Wiles ระหว่างปี 2539 ถึง 2544 สำหรับความสำเร็จของเขา Wiles รู้สึกเป็นเกียรติและได้รับรางวัลมากมาย รวมถึงรางวัล Abel Prize ประจำปี 2559
การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวล์สเป็นกรณีพิเศษในการแก้ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งวงรี อย่างไรก็ตาม นี่เป็นกรณีที่มีชื่อเสียงที่สุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่เช่นนี้ นอกจากการแก้ทฤษฎีบทของริบแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อีกด้วย ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และทฤษฎีบทแบบแยกส่วนได้รับการพิจารณาในระดับสากลว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แต่แอนดรูว์ ไวลส์สามารถพิสูจน์ให้โลกวิทยาศาสตร์เห็นว่าแม้แต่ผู้เชี่ยวชาญก็อาจผิดพลาดได้
Wyles ประกาศการค้นพบของเขาครั้งแรกในวันพุธที่ 23 มิถุนายน 1993 ที่การบรรยายในเคมบริดจ์ในหัวข้อ "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations" อย่างไรก็ตาม ในเดือนกันยายน พ.ศ. 2536 พบว่าการคำนวณของเขามีข้อผิดพลาด อีกหนึ่งปีต่อมาในวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 ในสิ่งที่เขาเรียกว่า "ช่วงเวลาที่สำคัญที่สุดในชีวิตการทำงานของเขา" ไวล์สสะดุดกับการเปิดเผยที่ทำให้เขาสามารถแก้ไขปัญหาจนถึงจุดที่สามารถตอบสนองทางคณิตศาสตร์ได้ ชุมชน
รายละเอียดงาน
ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ โดย แอนดรูว์ ไวลส์ ใช้วิธีการมากมายจากเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน และมีการแตกแขนงออกไปมากมายในสิ่งเหล่านี้สาขาวิชาคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ เขายังใช้โครงสร้างมาตรฐานของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตสมัยใหม่ เช่น หมวดหมู่ของโครงร่างและทฤษฎีอิวาซาว่า ตลอดจนวิธีการอื่นๆ ของศตวรรษที่ 20 ที่ไม่มีในปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์
บทความสองบทความที่มีหลักฐานมีความยาว 129 หน้าและเขียนขึ้นในช่วงเจ็ดปี John Coates อธิบายว่าการค้นพบนี้เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทฤษฎีจำนวน และ John Conway เรียกสิ่งนี้ว่าความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญของศตวรรษที่ 20 Wiles เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับกรณีพิเศษของเส้นโค้งวงรีกึ่งเสถียร ได้พัฒนาวิธีการอันทรงพลังสำหรับการยกโมดูลาร์และเปิดแนวทางใหม่สำหรับปัญหาอื่นๆ มากมาย ในการแก้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เขาได้รับการแต่งตั้งให้เป็นอัศวินและได้รับรางวัลอื่นๆ เมื่อรู้ว่า Wiles ได้รับรางวัล Abel Prize สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งนอร์เวย์ได้บรรยายถึงความสำเร็จของเขาว่าเป็น "บทพิสูจน์เบื้องต้นที่น่ายินดีสำหรับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์"
มันเป็นยังไง
หนึ่งในผู้ที่ทบทวนต้นฉบับดั้งเดิมของ Wiles พร้อมคำตอบของทฤษฎีบทคือ Nick Katz ในระหว่างการทบทวนของเขา เขาถามคำถามที่ชัดเจนแก่ชาวอังกฤษจำนวนหนึ่งซึ่งทำให้ Wiles ยอมรับว่างานของเขามีช่องว่างอย่างชัดเจน ในส่วนสำคัญของการพิสูจน์ มีข้อผิดพลาดซึ่งให้ค่าประมาณสำหรับลำดับของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง: ระบบออยเลอร์ที่ใช้ในการขยายวิธี Kolyvagin และ Flach นั้นไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ความผิดพลาดไม่ได้ทำให้งานของเขาไร้ประโยชน์ งานทุกชิ้นของ Wiles มีความสำคัญและสร้างสรรค์ในตัวเองมาก เช่นเดียวกับหลายๆการพัฒนาและวิธีการที่เขาได้สร้างขึ้นในระหว่างการทำงานของเขาและที่ได้รับผลกระทบเพียงส่วนเดียวของต้นฉบับ อย่างไรก็ตาม งานต้นฉบับนี้ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1993 ไม่มีข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
Wyles ใช้เวลาเกือบหนึ่งปีในการพยายามค้นหาคำตอบของทฤษฎีบทอีกครั้ง ครั้งแรกโดยลำพัง จากนั้นจึงร่วมมือกับ Richard Taylor อดีตนักเรียนของเขา แต่ดูเหมือนทุกอย่างจะไร้ผล ในตอนท้ายของปี 1993 มีข่าวลือแพร่สะพัดไปทั่วว่าข้อพิสูจน์ของ Wiles ล้มเหลวในการทดสอบ แต่ยังไม่ทราบความล้มเหลวนั้นร้ายแรงเพียงใด นักคณิตศาสตร์เริ่มกดดัน Wiles ให้เปิดเผยรายละเอียดของงานของเขา ไม่ว่าจะเสร็จหรือไม่ก็ตาม เพื่อให้ชุมชนนักคณิตศาสตร์ในวงกว้างได้สำรวจและใช้ทุกสิ่งที่พวกเขาสามารถทำได้ แทนที่จะแก้ไขข้อผิดพลาดอย่างรวดเร็ว ไวล์สค้นพบเฉพาะแง่มุมที่ยากเพิ่มเติมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และในที่สุดก็รู้ว่ามันยากเพียงใด
Wyles เล่าว่าในเช้าวันที่ 19 กันยายน 1994 เขาเกือบจะยอมแพ้และยอมแพ้ และเกือบจะยอมแพ้ต่อความล้มเหลว เขาพร้อมที่จะเผยแพร่ผลงานที่ยังไม่เสร็จของเขาเพื่อให้คนอื่น ๆ สามารถสร้างมันขึ้นมาและค้นหาว่าเขาผิดตรงไหน นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษตัดสินใจที่จะให้โอกาสตัวเองครั้งสุดท้ายและวิเคราะห์ทฤษฎีบทเป็นครั้งสุดท้ายเพื่อพยายามทำความเข้าใจสาเหตุหลักว่าทำไมวิธีการของเขาจึงไม่ได้ผล เมื่อจู่ๆ เขาก็ตระหนักว่าแนวทาง Kolyvagin-Flac จะไม่ทำงานจนกว่าเขาจะจะรวมทฤษฎีของ Iwasawa ไว้ในกระบวนการพิสูจน์ด้วยทำให้มันใช้งานได้
เมื่อวันที่ 6 ตุลาคม Wiles ขอให้เพื่อนร่วมงานสามคน (รวมถึง F altins) ทบทวนงานใหม่ของเขา และในวันที่ 24 ตุลาคม 1994 เขาได้ส่งต้นฉบับสองฉบับ - "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" และ "Theoretical properties of the ring of Hecke algebras" อันที่สองซึ่ง Wiles ได้ร่วมเขียนกับ Taylor และพิสูจน์ว่าได้ปฏิบัติตามเงื่อนไขบางประการเพื่อพิสูจน์ขั้นตอนที่ถูกต้องในบทความหลัก
เอกสารทั้งสองนี้ได้รับการตรวจสอบและในที่สุดก็ตีพิมพ์เป็นฉบับเต็มในพงศาวดารคณิตศาสตร์เดือนพฤษภาคม 2538 การคำนวณใหม่ของแอนดรูว์ได้รับการวิเคราะห์อย่างกว้างขวางและในที่สุดก็ยอมรับโดยชุมชนวิทยาศาสตร์ ในเอกสารเหล่านี้ ได้มีการกำหนดทฤษฎีบทโมดูลสำหรับเส้นโค้งวงรีกึ่งเสถียร ซึ่งเป็นขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ 358 ปีหลังจากที่มันถูกสร้างขึ้น
ประวัติศาสตร์ปัญหาใหญ่
การแก้ทฤษฎีบทนี้ถือเป็นปัญหาใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์มาหลายศตวรรษ ในปี พ.ศ. 2359 และ พ.ศ. 2393 สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศสได้เสนอรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปีพ.ศ. 2400 สถาบันการศึกษาได้มอบรางวัล 3,000 ฟรังก์และเหรียญทองแก่ Kummer สำหรับการค้นคว้าเกี่ยวกับตัวเลขในอุดมคติ แม้ว่าเขาจะไม่ได้สมัครเพื่อรับรางวัลก็ตาม บรัสเซลส์อคาเดมี่เสนออีกรางวัลหนึ่งให้กับเขาในปี พ.ศ. 2426
รางวัลหมาป่า
ในปี 1908 Paul Wolfskel นักอุตสาหกรรมและนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นชาวเยอรมัน มอบเหรียญทองคำจำนวน 100,000 เหรียญทอง (จำนวนมากสำหรับช่วงเวลานั้น)Academy of Sciences of Göttingen เพื่อให้เงินจำนวนนี้กลายเป็นรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อย่างสมบูรณ์ เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2451 Academy ได้เผยแพร่กฎการได้รับรางวัลเก้าข้อ เหนือสิ่งอื่นใด กฎเหล่านี้จำเป็นต้องมีการพิสูจน์เพื่อเผยแพร่ในวารสารที่ผ่านการตรวจสอบโดยเพื่อน รางวัลจะมอบให้เพียงสองปีหลังจากการตีพิมพ์ การแข่งขันมีกำหนดสิ้นสุดในวันที่ 13 กันยายน 2550 - ประมาณหนึ่งศตวรรษหลังจากเริ่ม เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2540 Wiles ได้รับเงินรางวัลจาก Wolfschel และอีก 50,000 เหรียญสหรัฐ ในเดือนมีนาคม 2016 เขาได้รับเงิน 600,000 ยูโรจากรัฐบาลนอร์เวย์โดยเป็นส่วนหนึ่งของรางวัล Abel Prize สำหรับ "การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อันน่าทึ่งด้วยความช่วยเหลือของการคาดเดาแบบแยกส่วนสำหรับเส้นโค้งวงรีกึ่งเสถียร ซึ่งเป็นการเปิดศักราชใหม่ในทฤษฎีตัวเลข" มันคือชัยชนะของโลกของชาวอังกฤษผู้ต่ำต้อย
ก่อนการพิสูจน์ของ Wiles ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ถูกพิจารณาว่าไม่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนมานานหลายศตวรรษ หลักฐานที่ไม่ถูกต้องนับพันชิ้นถูกนำเสนอต่อคณะกรรมการ Wolfskell ในช่วงเวลาต่างๆ กัน ซึ่งคิดเป็นสัดส่วนประมาณ 10 ฟุต (3 เมตร) ของการติดต่อ เฉพาะในปีแรกของการมีอยู่ของรางวัล (1907-1908) มีการส่งใบสมัคร 621 รายการเพื่ออ้างสิทธิ์ในการแก้ทฤษฎีบท แม้ว่าในช่วงทศวรรษ 1970 จำนวนของพวกเขาลดลงเหลือประมาณ 3-4 รายการต่อเดือน F. Schlichting ผู้วิจารณ์ของ Wolfschel กล่าวว่าหลักฐานส่วนใหญ่อยู่บนพื้นฐานของวิธีการระดับประถมศึกษาที่สอนในโรงเรียน และมักถูกนำเสนอในฐานะ "ผู้ที่มีภูมิหลังทางเทคนิคแต่ไม่ประสบความสำเร็จในอาชีพการงาน" ตามที่นักประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ Howard Aves คนสุดท้ายทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้สร้างสถิติ - นี่คือทฤษฎีบทที่มีการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องจำนวนมากที่สุด
เกียรติยศของฟาร์มไปญี่ปุ่น
ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ราวปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โกโร ชิมูระ และ ยูทากะ ทานิยามะ ค้นพบความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่างสองสาขาที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงของคณิตศาสตร์ - เส้นโค้งรูปไข่และรูปแบบโมดูลาร์ ผลลัพธ์จากทฤษฎีบทแบบแยกส่วน (ซึ่งรู้จักกันในชื่อว่า Taniyama-Shimura conjecture) ระบุว่าเส้นโค้งวงรีทุกเส้นเป็นแบบแยกส่วน ซึ่งหมายความว่าสามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบโมดูลาร์ที่ไม่ซ้ำกันได้
เริ่มแรกทฤษฎีนี้ถูกมองว่าไม่น่าเป็นไปได้หรือเป็นการเก็งกำไรสูง แต่ได้รับความสนใจมากขึ้นเมื่อ André Weil นักทฤษฎีจำนวนพบหลักฐานที่สนับสนุนข้อสรุปของญี่ปุ่น ด้วยเหตุนี้ สมมติฐานนี้จึงมักถูกเรียกว่าสมมติฐานทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์ เธอกลายเป็นส่วนหนึ่งของโครงการ Langlands ซึ่งเป็นรายการสมมติฐานที่สำคัญที่ต้องได้รับการพิสูจน์ในอนาคต
แม้หลังจากพิจารณาอย่างถี่ถ้วนแล้ว การคาดเดาก็ได้รับการยอมรับจากนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ว่าเป็นเรื่องยากมาก หรืออาจไม่สามารถพิสูจน์ได้ ตอนนี้ทฤษฎีบทนี้กำลังรอแอนดรูว์ ไวลส์ ซึ่งสามารถสร้างความประหลาดใจให้กับคนทั้งโลกด้วยคำตอบ
ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: หลักฐานของเปเรลมัน
ถึงแม้จะเป็นตำนานที่โด่งดัง แต่ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้เป็นอัจฉริยะทั้งหมดของเขานั้นไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่มีทางเบี่ยงเบนไปจากมันผลงานมากมายต่อชุมชนวิทยาศาสตร์
