ทิศทางเวกเตอร์โดยตรง: คำจำกัดความและตัวอย่าง

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

เรขาคณิตสำคัญที่ศึกษาในพื้นที่ราบเป็นเส้นตรง ในอวกาศสามมิติ นอกจากเส้นตรงแล้ว ยังมีระนาบอีกด้วย วัตถุทั้งสองถูกกำหนดอย่างสะดวกโดยใช้เวกเตอร์ทิศทาง มันคืออะไร เวกเตอร์เหล่านี้ใช้เพื่อกำหนดสมการของเส้นตรงและระนาบอย่างไร คำถามเหล่านี้และคำถามอื่นๆ จะกล่าวถึงในบทความ

เส้นตรงและวิธีการกำหนด

นักเรียนแต่ละคนมีความคิดที่ดีว่าพวกเขากำลังพูดถึงวัตถุเรขาคณิตอะไร จากมุมมองของคณิตศาสตร์ เส้นตรงคือชุดของจุด ซึ่งในกรณีของการเชื่อมต่อแบบคู่ตามอำเภอใจ จะนำไปสู่ชุดของเวกเตอร์คู่ขนาน คำจำกัดความของเส้นนี้ใช้สำหรับเขียนสมการทั้งแบบสองและสามมิติ

ในการอธิบายวัตถุหนึ่งมิติที่พิจารณา จะใช้สมการประเภทต่างๆ ซึ่งแสดงอยู่ในรายการด้านล่าง:

มุมมองทั่วไป;
พาราเมตริก
เวกเตอร์;
บัญญัติหรือสมมาตร
ในเซ็กเมนต์

แต่ละสายพันธุ์มีข้อดีเหนือกว่าพันธุ์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น สมการในส่วนที่สะดวกในการใช้เมื่อศึกษาพฤติกรรมของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับแกนพิกัด สมการทั่วไปจะสะดวกเมื่อค้นหาทิศทางตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด ตลอดจนเมื่อคำนวณมุมของ ทางแยกที่มีแกน x (สำหรับตัวพิมพ์แบน).

เนื่องจากหัวข้อของบทความนี้เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง เราจะพิจารณาเพิ่มเติมเฉพาะสมการที่เวกเตอร์นี้เป็นพื้นฐานและมีไว้อย่างชัดเจน นั่นคือ นิพจน์เวกเตอร์

การระบุเส้นตรงผ่านเวกเตอร์

สมมติว่าเรามีเวกเตอร์ v¯ พร้อมพิกัดที่รู้จัก (a; b; c) เนื่องจากมีสามพิกัด เวกเตอร์จึงถูกกำหนดในอวกาศ จะพรรณนาในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมได้อย่างไร? สิ่งนี้ทำได้ง่ายมาก: ในแต่ละแกนทั้งสามจะมีการพล็อตส่วนซึ่งมีความยาวเท่ากับพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ จุดตัดของเส้นตั้งฉากทั้งสามที่คืนค่าเป็นระนาบ xy, yz และ xz จะเป็นจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ จุดเริ่มต้นคือจุด (0; 0; 0).

อย่างไรก็ตาม ตำแหน่งที่กำหนดของเวกเตอร์ไม่ใช่ตำแหน่งเดียว ในทำนองเดียวกัน เราสามารถวาด v¯ โดยวางจุดกำเนิดไว้ที่จุดใดก็ได้ในอวกาศ อาร์กิวเมนต์เหล่านี้บอกว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดเส้นเฉพาะโดยใช้เวกเตอร์ มันกำหนดตระกูลของเส้นคู่ขนานจำนวนอนันต์

เดี๋ยวนี้แก้ไขบางจุด P(x₀; y₀; z_{0) ของพื้นที่ และเราตั้งเงื่อนไข: เส้นตรงต้องผ่าน P. ในกรณีนี้ เวกเตอร์ v¯ ต้องมีจุดนี้ด้วย ข้อเท็จจริงสุดท้ายหมายความว่าสามารถกำหนดบรรทัดเดียวได้โดยใช้ P และ v¯ มันจะเขียนเป็นสมการต่อไปนี้:}

Q=P + λ × v¯

ที่นี่ Q คือจุดใด ๆ ที่เป็นของเส้น สามารถรับจุดนี้ได้โดยเลือกพารามิเตอร์ที่เหมาะสม λ สมการที่เขียนเรียกว่าสมการเวกเตอร์ และ v¯ เรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง โดยการจัดเรียงให้ผ่าน P และเปลี่ยนความยาวด้วยพารามิเตอร์ λ เราจะได้จุด Q แต่ละจุดเป็นเส้นตรง

ในรูปแบบพิกัด สมการจะถูกเขียนดังนี้:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; c)}

และในรูปแบบที่ชัดเจน (พารามิเตอร์) คุณสามารถเขียนว่า:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

ถ้าเราไม่รวมพิกัดที่สามในนิพจน์ข้างต้น เราก็จะได้สมการเวกเตอร์ของเส้นตรงบนระนาบ

การรู้เวกเตอร์ทิศทางมีประโยชน์อย่างไร ?

ตามกฎแล้ว สิ่งเหล่านี้คืองานเพื่อกำหนดความขนานและความตั้งฉากของเส้น นอกจากนี้ เวกเตอร์ตรงที่กำหนดทิศทางยังใช้ในการคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดและเส้นตรงเพื่ออธิบายพฤติกรรมของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับระนาบ

สองเส้นจะขนานกันหากเวกเตอร์ทิศทางเป็น ดังนั้นความตั้งฉากของเส้นจึงได้รับการพิสูจน์โดยใช้ความตั้งฉากของเวกเตอร์ ในปัญหาประเภทนี้ การคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่พิจารณาแล้วได้คำตอบก็เพียงพอแล้ว

ในกรณีของการคำนวณระยะทางระหว่างเส้นและจุด เวกเตอร์ทิศทางจะถูกรวมไว้อย่างชัดเจนในสูตรที่สอดคล้องกัน มาเขียนกันเถอะ:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

ที่นี่ P₁P₂¯ - สร้างขึ้นจากจุด P₁ และ P ₂ ส่วนกำกับ จุด P₂ เป็นกฎเกณฑ์ โดยอยู่บนเส้นเวกเตอร์ v¯ ในขณะที่จุด P_{1 คือจุดที่ระยะห่างควร ได้รับการพิจารณา. มันสามารถเป็นอิสระหรืออยู่ในสายหรือเครื่องบินอื่น}

โปรดทราบว่าการคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นตรงเฉพาะเมื่อเส้นขนานหรือตัดกันนั้นสมเหตุสมผลเท่านั้น หากตัดกัน d จะเป็นศูนย์

สูตรข้างต้นสำหรับ d นั้นใช้ได้สำหรับการคำนวณระยะห่างระหว่างระนาบกับเส้นตรงขนานกับระนาบ ในกรณีนี้เท่านั้น P_{1ควรเป็นของระนาบ}

มาแก้ปัญหาต่าง ๆ เพื่อแสดงวิธีใช้เวกเตอร์ที่พิจารณากันดีกว่า

ปัญหาสมการเวกเตอร์

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงอธิบายโดยสมการต่อไปนี้:

y=3 × x - 4

คุณควรเขียนนิพจน์ที่เหมาะสมในแบบเวกเตอร์

นี่คือสมการทั่วไปของเส้นตรงที่เด็กนักเรียนทุกคนรู้จัก ซึ่งเขียนในรูปแบบทั่วไป มาดูวิธีการเขียนใหม่ในรูปแบบเวกเตอร์กัน

นิพจน์สามารถแสดงเป็น:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

จะเห็นว่าถ้าเปิดออกมาจะได้เท่าเดิม ตอนนี้เราแบ่งด้านขวาของมันออกเป็นเวกเตอร์สองเวกเตอร์เพื่อให้มีเพียงอันเดียวที่มี x เรามี:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

ยังคงเอา x ออกจากวงเล็บ กำหนดด้วยสัญลักษณ์กรีกแล้วสลับเวกเตอร์ทางด้านขวา:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

เราได้รูปแบบเวกเตอร์ของนิพจน์ดั้งเดิม พิกัดเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงคือ (1; 3).

งานกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของบรรทัด

ให้เว้นวรรคสองบรรทัด:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

ขนานกัน ข้ามหรือตัดกัน

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (-1; 3; 1) และ (1; 2; 0) จะเป็นแนวทางสำหรับบรรทัดเหล่านี้ ให้เราแสดงสมการเหล่านี้ในรูปแบบพาราเมตริกและแทนที่พิกัดของตัวแรกเป็นตัวที่สอง เราได้:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

แทนที่พารามิเตอร์ที่พบ λ ลงในสมการสองสมการข้างต้น เราจะได้:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3 / 2 × λ - 1=5

พารามิเตอร์ γ ไม่สามารถรับค่าที่ต่างกันสองค่าพร้อมกันได้ ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่มีจุดร่วมเดียวนั่นคือมันตัดกัน พวกมันไม่ขนานกัน เนื่องจากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์นั้นไม่ขนานกัน (สำหรับการขนานกันนั้น จะต้องมีตัวเลขที่การคูณด้วยเวกเตอร์หนึ่งอันจะนำไปสู่พิกัดของวินาที)

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของเครื่องบิน

ในการตั้งระนาบในอวกาศ เราให้สมการทั่วไป:

A × x + B × y + C × z + D=0

ที่นี่อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แสดงถึงตัวเลขเฉพาะ สามตัวแรกกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ หากแสดงโดย n¯ แล้ว:

n¯=(A; B; C)

เวกเตอร์นี้ตั้งฉากกับระนาบ จึงเรียกว่าไกด์ ความรู้ของมันรวมถึงพิกัดที่รู้จักของจุดใดๆ ที่เป็นของระนาบนั้นเป็นตัวกำหนดจุดหลังอย่างไม่ซ้ำกัน

ถ้าจุด P(x₁; y₁; z_{1) เป็นของ บนระนาบแล้วจุดตัด D คำนวณดังนี้}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

มาแก้ปัญหาสองสามข้อโดยใช้สมการทั่วไปของระนาบกัน

งานสำหรับการหาเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน

เครื่องบินถูกกำหนดดังนี้:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

จะหาเวกเตอร์ทิศทางให้เธอได้อย่างไร

จากทฤษฎีข้างต้น พิกัดของเวกเตอร์ปกติ n¯ คือสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปร ในเรื่องนี้ ในการหา n¯ สมการควรเขียนในรูปแบบทั่วไป เรามี:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเครื่องบินคือ:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

โจทย์การวาดสมการระนาบ

ให้พิกัดสามจุด:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

สมการของระนาบที่มีจุดเหล่านี้ทั้งหมดจะเป็นอย่างไร

สามจุดที่ไม่ได้เป็นเส้นเดียวกัน วาดได้เพียงระนาบเดียว ในการหาสมการนั้น ก่อนอื่นให้คำนวณเวกเตอร์ทิศทางของระนาบ n¯ ในการทำเช่นนี้ เราดำเนินการดังนี้: เราพบเวกเตอร์สองตัวที่เป็นของระนาบโดยพลการ และคำนวณผลคูณของเวกเตอร์ของพวกมัน มันจะให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบนี้ นั่นคือ n¯ เรามี: