Planimetry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขระนาบ ซึ่งรวมถึงสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม ที่มีชื่อเสียงไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นตรงและมุมด้วย ในการวัดระนาบระนาบ ยังมีแนวคิดเช่นมุมในวงกลม: ตรงกลางและจารึกไว้ แต่มันหมายความว่ายังไง?
มุมตรงกลางคืออะไร
เพื่อให้เข้าใจว่ามุมศูนย์กลางคืออะไร คุณต้องกำหนดวงกลม วงกลมคือชุดของจุดที่เท่ากันทุกจุดจากจุดที่กำหนด (จุดศูนย์กลางของวงกลม)
มันสำคัญมากที่จะแยกมันออกจากวงกลม ต้องจำไว้ว่าวงกลมเป็นเส้นปิดและวงกลมเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยมัน รูปหลายเหลี่ยมหรือมุมสามารถจารึกเป็นวงกลมได้
มุมศูนย์กลางคือมุมที่มีจุดยอดตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลมและด้านที่ด้านตัดกับวงกลมเป็นสองจุด ส่วนโค้งซึ่งมุมจำกัดด้วยจุดตัดเรียกว่าส่วนโค้งที่มุมที่กำหนดอยู่
พิจารณาตัวอย่าง 1.
ในภาพ มุม AOB เป็นจุดศูนย์กลาง เนื่องจากจุดยอดของมุมและจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุด O หนึ่งจุด ซึ่งวางอยู่บนส่วนโค้ง AB ซึ่งไม่มีจุด C
มุมสลักแตกต่างจากมุมกลางอย่างไร
แต่นอกจากตรงกลางแล้วยังมีมุมจารึกไว้อีกด้วย ความแตกต่างของพวกเขาคืออะไร? เช่นเดียวกับมุมศูนย์กลาง มุมที่จารึกไว้ในวงกลมวางอยู่บนส่วนโค้งที่แน่นอน แต่จุดยอดไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลมแต่อยู่บนมัน
มาดูตัวอย่างกัน
มุม ACB เรียกว่ามุมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด O จุด C เป็นของวงกลม กล่าวคือ อยู่บนนั้น มุมวางอยู่บนส่วนโค้ง AB
มุมตรงกลางคืออะไร
เพื่อรับมือกับปัญหาทางเรขาคณิตได้สำเร็จ การแยกความแตกต่างระหว่างมุมที่จารึกไว้กับมุมตรงกลางนั้นไม่เพียงพอ ตามกฎแล้ว ในการแก้ปัญหา คุณต้องรู้วิธีหามุมศูนย์กลางในวงกลมอย่างถ่องแท้ และสามารถคำนวณค่าเป็นองศาได้
ดังนั้น มุมตรงกลางจึงเท่ากับการวัดองศาของส่วนโค้งที่วางอยู่
ในภาพ มุม AOB อยู่บนส่วนโค้ง AB เท่ากับ 66° ดังนั้นมุม AOB ก็เท่ากับ 66°
ดังนั้น มุมศูนย์กลางของส่วนโค้งที่เท่ากันจึงเท่ากัน
ในรูป arc DC เท่ากับ arc AB มุม AOB เท่ากับมุม DOC
วิธีหามุมที่จารึก
อาจดูเหมือนว่ามุมที่จารึกไว้ในวงกลมจะเท่ากับมุมศูนย์กลางซึ่งอาศัยส่วนโค้งเดียวกัน อย่างไรก็ตาม นี่เป็นความผิดพลาดอย่างร้ายแรง ที่จริงแล้ว แม้แต่การดูภาพวาดและเปรียบเทียบมุมเหล่านี้กับแต่ละมุม คุณจะเห็นว่าการวัดองศาของพวกมันจะมีค่าต่างกัน แล้วมุมในวงกลมเป็นเท่าไหร่
การวัดองศาของมุมที่จารึกไว้คือครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่บน หรือครึ่งหนึ่งของมุมตรงกลางหากพวกมันใช้ส่วนโค้งเดียวกัน
มาดูตัวอย่างกัน มุม ACB ขึ้นอยู่กับส่วนโค้งเท่ากับ 66°
ดังนั้นมุม DIA=66°: 2=33°
ลองพิจารณาผลที่ตามมาจากทฤษฎีบทนี้กัน
- มุมที่จารึกไว้ หากอยู่บนส่วนโค้ง คอร์ด หรือส่วนโค้งเท่ากัน ให้เท่ากัน
- ถ้ามุมที่จารึกไว้อยู่บนพื้นฐานของคอร์ดเดียวกัน แต่จุดยอดของมันอยู่ด้านตรงข้ามของมัน ผลรวมของการวัดองศาของมุมดังกล่าวคือ 180° เนื่องจากในกรณีนี้ มุมทั้งสองจะขึ้นอยู่กับส่วนโค้ง หน่วยวัดองศาทั้งหมดคือ 360° (ทั้งวงกลม), 360°: 2=180°
- หากมุมที่จารึกอยู่ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด การวัดองศาของมันคือ 90° เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางกำหนดส่วนโค้งเท่ากับ 180°, 180°: 2=90°
- หากมุมที่ตรงกลางและมุมที่จารึกไว้ในวงกลมนั้นใช้ส่วนโค้งหรือคอร์ดเดียวกัน มุมที่จารึกไว้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมตรงกลาง
พบปัญหาในหัวข้อนี้ได้ที่ไหน ประเภทและวิธีแก้ปัญหา
เนื่องจากวงกลมและคุณสมบัติของวงกลมเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของเรขาคณิต โดยเฉพาะการวัดระนาบ มุมที่จารึกและศูนย์กลางในวงกลมจึงเป็นหัวข้อที่มีรายละเอียดกว้างและละเอียดได้ศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน งานที่ทุ่มเทให้กับคุณสมบัติของพวกเขาจะพบในการสอบของรัฐหลัก (OGE) และการสอบของรัฐแบบรวม (USE) ตามกฎแล้ว ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ คุณควรหามุมบนวงกลมเป็นองศา
มุมบนส่วนโค้งเดียวกัน
ปัญหาประเภทนี้อาจเป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด เนื่องจากในการแก้ปัญหานั้น คุณต้องรู้คุณสมบัติง่ายๆ เพียงสองประการเท่านั้น: หากทั้งสองมุมถูกจารึกไว้และพิงคอร์ดเดียวกัน จะเท่ากัน ถ้าหนึ่งในนั้นคือ ตรงกลางจากนั้นมุมจารึกที่สอดคล้องกันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ เราจะต้องระมัดระวังอย่างยิ่ง: บางครั้งก็ยากที่จะสังเกตเห็นคุณสมบัตินี้ และนักเรียนเมื่อแก้ปัญหาง่ายๆ เช่นนี้ ก็มาถึงทางตัน พิจารณาตัวอย่าง
ปัญหา 1
ให้วงกลมตรงกลางจุด O มุม AOB คือ 54° หาค่าองศาของมุม DIA
งานนี้จบในขั้นตอนเดียว สิ่งเดียวที่คุณต้องการในการหาคำตอบอย่างรวดเร็วคือสังเกตว่าส่วนโค้งที่มุมทั้งสองวางอยู่นั้นเป็นส่วนทั่วไป เมื่อเห็นสิ่งนี้ คุณสามารถใช้คุณสมบัติที่คุ้นเคยอยู่แล้วได้ มุม ACB เท่ากับครึ่งหนึ่งของมุม AOB ดังนั้น
1) AOB=54°: 2=27°.
คำตอบ: 54°.
มุมตามส่วนโค้งต่างๆ ของวงกลมเดียวกัน
บางครั้งขนาดของส่วนโค้งที่วางมุมที่ต้องการไม่ได้ระบุไว้โดยตรงในเงื่อนไขของปัญหา ในการคำนวณ คุณต้องวิเคราะห์ขนาดของมุมเหล่านี้และเปรียบเทียบกับคุณสมบัติที่ทราบของวงกลม
ปัญหาที่ 2
ในวงกลมตรงกลางที่ O มุม AOCคือ 120° และมุม AOB คือ 30° หามุม YOU.
เพื่อเริ่มต้น ควรบอกว่าเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหานี้โดยใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แต่จะต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์มากกว่านี้ ดังนั้น ในที่นี้ เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติของมุมศูนย์กลางและมุมที่จารึกไว้ในวงกลม
ดังนั้น มุม AOC จะอยู่บนส่วนโค้ง AC และอยู่ตรงกลาง ซึ่งหมายความว่าส่วนโค้ง AC นั้นเท่ากับมุม AOC
AC=120°
ในทำนองเดียวกัน มุม AOB อยู่บนส่วนโค้ง AB
AB=30°.
เมื่อรู้สิ่งนี้และการวัดองศาของวงกลมทั้งหมด (360°) คุณจะพบขนาดของส่วนโค้ง BC ได้อย่างง่ายดาย
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
จุดยอดของมุม CAB จุด A อยู่บนวงกลม ดังนั้นมุม CAB จะถูกจารึกไว้และเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง CB
มุม CAB=210°: 2=110°
คำตอบ: 110°
ปัญหาตามอัตราส่วนอาร์ค
ปัญหาบางอย่างไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับมุมเลย จึงต้องค้นหาตามทฤษฎีบทและคุณสมบัติของวงกลมที่รู้จักเท่านั้น
ปัญหาที่ 1
หามุมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมที่มีคอร์ดรองรับเท่ากับรัศมีของวงกลมที่กำหนด
หากคุณวาดเส้นที่เชื่อมปลายส่วนด้วยจุดศูนย์กลางของวงกลม คุณจะได้รูปสามเหลี่ยม เมื่อตรวจสอบแล้ว จะเห็นว่าเส้นเหล่านี้เป็นรัศมีของวงกลม ซึ่งหมายความว่าทุกด้านของสามเหลี่ยมเท่ากัน เรารู้ว่าทุกมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่ามีค่าเท่ากับ 60 องศา ดังนั้น ส่วนโค้ง AB ที่มีจุดยอดของสามเหลี่ยมนั้นมีค่าเท่ากับ 60° จากที่นี่ เราจะพบส่วนโค้ง AB ซึ่งอิงจากมุมที่ต้องการ
AB=360° - 60°=300°
มุม ABC=300 °: 2=150°
คำตอบ: 150°
ปัญหาที่ 2
ในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด O ส่วนโค้งจะสัมพันธ์กันเป็น 3:7 หามุมจารึกที่เล็กกว่า
สำหรับวิธีแก้ปัญหา เรากำหนดให้ส่วนหนึ่งเป็น X จากนั้นหนึ่งส่วนโค้งเท่ากับ 3X และส่วนที่สองตามลำดับคือ 7X เมื่อรู้ว่าการวัดดีกรีของวงกลมเท่ากับ 360° เราก็เขียนสมการได้
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
ตามเงื่อนไขต้องหามุมที่เล็กกว่านี้ เห็นได้ชัดว่า หากค่าของมุมเป็นสัดส่วนโดยตรงกับส่วนโค้งที่วางอยู่ มุมที่ต้องการ (เล็กกว่า) จะสอดคล้องกับส่วนโค้งที่เท่ากับ 3X
ดังนั้นมุมที่เล็กกว่าคือ (36°3): 2=108°: 2=54°
คำตอบ: 54°
ปัญหาที่ 3
ในวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด O มุม AOB คือ 60° และความยาวของส่วนโค้งที่เล็กกว่าคือ 50 คำนวณความยาวของส่วนโค้งที่ใหญ่กว่า
ในการคำนวณความยาวของส่วนโค้งที่ใหญ่ขึ้น คุณต้องสร้างสัดส่วน - ส่วนโค้งที่เล็กกว่าสัมพันธ์กับส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าอย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณขนาดของส่วนโค้งทั้งสองเป็นองศา ส่วนโค้งที่เล็กกว่านั้นเท่ากับมุมที่วางอยู่บนนั้น การวัดองศาของมันคือ 60 ° ส่วนโค้งที่ใหญ่กว่านั้นเท่ากับส่วนต่างระหว่างการวัดองศาของวงกลม (เท่ากับ 360° โดยไม่คำนึงถึงข้อมูลอื่น) กับส่วนโค้งที่เล็กกว่า
ส่วนโค้งใหญ่คือ 360° - 60°=3000°
ตั้งแต่ 300 °: 60°=5 ส่วนโค้งที่ใหญ่กว่าจะเล็กกว่าส่วนโค้งที่เล็กกว่า 5 เท่า
โค้งใหญ่=505=250
คำตอบ: 250
มีอีกแน่นอนแนวทางในการแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกัน แต่ทั้งหมดนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของมุมศูนย์กลางและมุมสามเหลี่ยมและวงกลมที่จารึกไว้ เพื่อที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ได้สำเร็จ คุณต้องศึกษาภาพวาดอย่างละเอียดและเปรียบเทียบกับข้อมูลของปัญหา รวมทั้งสามารถนำความรู้เชิงทฤษฎีของคุณไปปฏิบัติได้