วิธีหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันในกลุ่ม: กฎ ตัวอย่าง และคุณลักษณะ

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

การศึกษาฟังก์ชันและกราฟเป็นหัวข้อที่ได้รับความสนใจเป็นพิเศษภายใต้กรอบหลักสูตรของโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย พื้นฐานบางอย่างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ความแตกต่าง - รวมอยู่ในระดับโปรไฟล์ของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนบางคนมีปัญหากับหัวข้อนี้ เนื่องจากพวกเขาสร้างความสับสนให้กับกราฟของฟังก์ชันและอนุพันธ์ และยังลืมอัลกอริทึมอีกด้วย บทความนี้จะกล่าวถึงประเภทงานหลักและวิธีแก้ปัญหา

ค่าของฟังก์ชันคืออะไร

ฟังก์ชันคณิตศาสตร์เป็นสมการพิเศษ มันสร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข ฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของอาร์กิวเมนต์

ค่าของฟังก์ชันคำนวณตามสูตรที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่อาร์กิวเมนต์ใดๆ ที่สอดคล้องกับช่วงของค่าที่ถูกต้องในสูตรนี้แทน x และดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น อะไรนะ

คุณสามารถหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันได้อย่างไรใช้ฟังก์ชันกราฟ?

การแสดงกราฟิกของการพึ่งพาฟังก์ชันบนอาร์กิวเมนต์เรียกว่ากราฟฟังก์ชัน มันถูกสร้างขึ้นบนระนาบที่มีส่วนของหน่วยที่แน่นอน โดยที่ค่าของตัวแปรหรืออาร์กิวเมนต์ถูกพล็อตตามแกน abscissa แนวนอน และค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกันตามแกนพิกัดแนวตั้ง

ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มากเท่าไร กราฟก็จะยิ่งอยู่ทางด้านขวามากขึ้นเท่านั้น และยิ่งค่าของฟังก์ชันเองมากเท่าไหร่ แต้มก็จะยิ่งสูงเท่านั้น

นี่พูดว่าอะไรนะ? ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเป็นจุดที่ต่ำที่สุดในกราฟ หากต้องการค้นหาในส่วนแผนภูมิ คุณต้องมี:

1) ค้นหาและทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของส่วนนี้

2) มองเห็นว่าจุดใดในส่วนนี้อยู่ต่ำสุด

3) ในการตอบกลับ ให้จดค่าตัวเลขของมัน ซึ่งสามารถกำหนดได้โดยการฉายจุดบนแกน y

จุดสุดขั้วบนแผนภูมิอนุพันธ์ จะดูได้ที่ไหน

อย่างไรก็ตาม ในการแก้ปัญหา บางครั้งกราฟก็ไม่ได้มาจากฟังก์ชัน แต่เป็นอนุพันธ์ของกราฟ เพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่งี่เง่าโดยไม่ได้ตั้งใจ คุณควรอ่านเงื่อนไขอย่างรอบคอบดีกว่า เนื่องจากขึ้นอยู่กับว่าคุณต้องมองหาจุดสุดขั้วที่ใด

ดังนั้น อนุพันธ์คืออัตราการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันทันที ตามคำจำกัดความทางเรขาคณิต อนุพันธ์นั้นสอดคล้องกับความชันของแทนเจนต์ซึ่งวาดโดยตรงไปยังจุดที่กำหนด

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าที่จุดสุดปลายสัมผัสนั้นขนานกับแกน Oxซึ่งหมายความว่าความชันของมันคือ 0

จากนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าที่จุดสุดขั้ว อนุพันธ์อยู่บนแกน x หรือหายไป แต่นอกจากนี้ ณ จุดเหล่านี้ ฟังก์ชันจะเปลี่ยนทิศทาง นั่นคือหลังจากช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นก็เริ่มลดลงและอนุพันธ์จะเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ หรือในทางกลับกัน

ถ้าอนุพันธ์กลายเป็นลบจากบวก นี่คือจุดสูงสุด ถ้าจากลบกลายเป็นบวก - จุดต่ำสุด

สำคัญ: หากคุณต้องการระบุจุดต่ำสุดหรือสูงสุดในงาน คุณควรเขียนค่าที่สอดคล้องกันตามแนวแกน abscissa เพื่อเป็นการตอบกลับ แต่ถ้าคุณต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ก่อนอื่นคุณต้องแทนที่ค่าที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์ลงในฟังก์ชันแล้วคำนวณหามัน

จะหาจุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์ได้อย่างไร

ตัวอย่างที่พิจารณาส่วนใหญ่อ้างอิงถึงงานหมายเลข 7 ของการสอบ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการทำงานกับกราฟของอนุพันธ์หรือแอนติเดริเวทีฟ แต่ภารกิจที่ 12 ของ USE - เพื่อค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ (บางครั้งใหญ่ที่สุด) - ดำเนินการโดยไม่มีภาพวาดใดๆ และต้องใช้ทักษะพื้นฐานในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ในการแสดง คุณจะต้องสามารถหาจุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์ได้ อัลกอริทึมสำหรับการค้นหามีดังนี้:

• หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
• ตั้งเป็นศูนย์
• หารากของสมการ
• ตรวจดูว่าคะแนนที่ได้รับนั้นเป็นจุดสุดขั้วหรือจุดเปลี่ยนหรือไม่

วาดไดอะแกรมและต่อไปช่วงเวลาผลลัพธ์เป็นตัวกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์โดยการแทนที่ตัวเลขที่เป็นของกลุ่มเป็นอนุพันธ์ ถ้าเมื่อคุณแก้สมการ คุณได้รากของคูณสอง นี่คือจุดผัน

ใช้ทฤษฎีบท กำหนดจุดต่ำสุดและจุดสูงสุด

คำนวณค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์

อย่างไรก็ตาม เมื่อดำเนินการทั้งหมดนี้แล้ว เราจะพบค่าของจุดต่ำสุดและสูงสุดตามแนวแกน x แต่จะค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ได้อย่างไร

ต้องทำอย่างไรเพื่อหาตัวเลขที่ตรงกับฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง คุณต้องแทนที่ค่าของอาร์กิวเมนต์ในสูตรนี้

คะแนนต่ำสุดและสูงสุดสอดคล้องกับค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในกลุ่ม ดังนั้น ในการหาค่าของฟังก์ชัน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันโดยใช้ค่า x ที่ได้รับ

สำคัญ! หากงานต้องการให้คุณระบุจุดต่ำสุดหรือสูงสุด คุณควรเขียนค่าที่สอดคล้องกันตามแนวแกน x แต่ถ้าคุณต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ก่อนอื่นคุณต้องแทนที่ค่าที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์ลงในฟังก์ชันและดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น

ฉันควรทำอย่างไรหากไม่มีจุดต่ำสุดในส่วนนี้

แต่จะหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่ไม่มีจุดสุดขั้วได้อย่างไร

นี่หมายความว่าฟังก์ชันนี้จะลดลงหรือเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ จากนั้นคุณต้องแทนที่ค่าของจุดสุดขั้วของเซ็กเมนต์นี้ลงในฟังก์ชัน มีสองวิธี

1) คำนวณแล้วอนุพันธ์และช่วงเวลาที่เป็นบวกหรือลบ เพื่อสรุปว่าฟังก์ชันกำลังลดลงหรือเพิ่มขึ้นในส่วนที่กำหนด

ตามนั้น แทนที่ค่าที่มากกว่าหรือน้อยกว่าของอาร์กิวเมนต์ลงในฟังก์ชัน

2) เพียงแทนที่ทั้งสองจุดลงในฟังก์ชันแล้วเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ได้

งานที่จะหาอนุพันธ์นั้นเป็นทางเลือก

ตามกฎแล้ว ในการมอบหมาย USE คุณยังต้องค้นหาอนุพันธ์ มีข้อยกเว้นอยู่สองสามข้อ

1) พาราโบลา

จุดยอดของพาราโบลาหาได้จากสูตร

ถ้าเป็น < 0 กิ่งก้านของพาราโบลาจะถูกชี้ลง และจุดสูงสุดคือจุดสูงสุด

ถ้า > 0 แล้วกิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้นด้านบน จุดยอดคือจุดต่ำสุด

เมื่อคำนวณจุดยอดของพาราโบลาแล้ว คุณควรแทนที่ค่าของมันลงในฟังก์ชันและคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

2) ฟังก์ชัน y=tg x หรือ y=ctg x.

ฟังก์ชั่นเหล่านี้เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้น ยิ่งค่าของอาร์กิวเมนต์มากเท่าใด ค่าของฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ต่อไป เราจะมาดูวิธีค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในกลุ่มพร้อมตัวอย่าง

ประเภทงานหลัก

Task: ค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ตัวอย่างบนชาร์ต

ในภาพ คุณจะเห็นกราฟอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) บนช่วง [-6; 6]. ณ จุดใดของเซ็กเมนต์ [-3; 3] f(x) ใช้ค่าน้อยที่สุด?

ดังนั้น สำหรับผู้เริ่มต้น คุณควรเลือกส่วนที่ระบุ ฟังก์ชันนี้เคยใช้ค่าศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมาย - นี่คือจุดสุดโต่ง เนื่องจากอนุพันธ์จากค่าลบกลายเป็นบวก หมายความว่านี่คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน จุดนี้สอดคล้องกับค่าของอาร์กิวเมนต์ 2.

คำตอบ: 2.

ดูตัวอย่างต่อ ภารกิจ: ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=(x - 8) ex-7บนช่วงเวลา [6; 8].

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

y' (x)=(x - 8) e^x-7 =(x - 8)' (e^x-7) + (x - 8) (e^x-7)'=1(e^x-7) + (x - 8) (e x-7^{)=(1 + x - 8) (e}x-7^{)=(x - 7) (e}x-7) ⁾

2. หาอนุพันธ์ผลลัพธ์ให้เป็นศูนย์และแก้สมการ

y' (x)=0

(x - 7) (ex-7)=0

x - 7=0 หรือ ex-7=0

x=7; ex-7 ≠ 0, ไม่มีราก

3. แทนที่ค่าของจุดสุดขั้วลงในฟังก์ชัน เช่นเดียวกับรากของสมการที่ได้รับ

y (6)=(6 - 8) e^6-7=-2e^-1

y (7)=(7 - 8) e^7-7=-1e^{0=-11=- 1}

y (8)=(8 - 8) e^8-7=0e¹⁼⁰

คำตอบ: -1.

ดังนั้น ในบทความนี้ ทฤษฎีหลักได้รับการพิจารณาถึงวิธีหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ ซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา USE ให้สำเร็จในวิชาคณิตศาสตร์เฉพาะทาง องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ด้วยการวิเคราะห์จะใช้ในการแก้ปัญหาจากส่วน C ของข้อสอบ แต่เห็นได้ชัดว่าเป็นการแสดงถึงระดับความซับซ้อนที่แตกต่างกัน และอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหานั้นยากที่จะปรับให้เข้ากับกรอบงานของเนื้อหาเดียว