วิธีเกาส์สำหรับหุ่น: ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 05:43

ในบทความนี้ วิธีนี้เป็นวิธีการแก้สมการเชิงเส้น (SLAE) วิธีนี้เป็นการวิเคราะห์ กล่าวคือ ช่วยให้คุณสามารถเขียนอัลกอริธึมโซลูชันทั่วไป แล้วแทนที่ค่าจากตัวอย่างเฉพาะที่นั่น ต่างจากวิธีเมทริกซ์หรือสูตรของแครมเมอร์ตรงที่เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ คุณยังสามารถทำงานกับสมการที่มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน หรือไม่มีเลย

การแก้โดยวิธีเกาส์หมายความว่าอย่างไร

อันดับแรก เราต้องเขียนระบบสมการของเราเป็นเมทริกซ์ ดูเหมือนว่านี้ นำระบบแล้ว:

สัมประสิทธิ์เขียนในรูปแบบของตาราง และทางด้านขวาในคอลัมน์แยก - สมาชิกอิสระ คอลัมน์ที่มีสมาชิกอิสระจะถูกคั่นด้วยแถบแนวตั้งเพื่อความสะดวก เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์นี้เรียกว่าขยาย

ถัดไป เมทริกซ์หลักที่มีค่าสัมประสิทธิ์จะต้องถูกลดรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมบน นี่คือประเด็นหลักในการแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์ พูดง่ายๆ ว่า หลังจากการปรับเปลี่ยนบางอย่าง เมทริกซ์ควรมีลักษณะดังนี้ เพื่อให้เหลือเพียงศูนย์ในส่วนล่างซ้าย:

จากนั้น หากคุณเขียนเมทริกซ์ใหม่อีกครั้งเป็นระบบสมการ คุณจะสังเกตเห็นว่าบรรทัดสุดท้ายมีค่าของรากหนึ่งอยู่แล้ว ซึ่งจะถูกแทนที่ในสมการข้างต้น จะพบรูทอื่น, และอื่นๆ

นี่คือคำอธิบายของวิธีแก้ปัญหาแบบเกาส์เซียนในแง่ทั่วไป และจะเกิดอะไรขึ้นถ้าจู่ๆ ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา? หรือมีจำนวนอนันต์? ในการตอบคำถามเหล่านี้และคำถามอื่นๆ อีกมากมาย จำเป็นต้องพิจารณาแยกองค์ประกอบทั้งหมดที่ใช้ในการแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์

เมทริกซ์ คุณสมบัติของพวกมัน

ไม่มีความหมายที่ซ่อนอยู่ในเมทริกซ์ เป็นเพียงวิธีที่สะดวกในการบันทึกข้อมูลสำหรับการดำเนินการในภายหลัง แม้แต่เด็กนักเรียนก็ไม่ควรกลัวพวกเขา

เมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสมอเพราะสะดวกกว่า แม้แต่ในวิธีเกาส์ ที่ซึ่งทุกอย่างเดือดปุด ๆ เพื่อสร้างเมทริกซ์สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมก็ปรากฏขึ้นในรายการ โดยมีเพียงศูนย์ในตำแหน่งที่ไม่มีตัวเลข ค่าศูนย์สามารถละเว้นได้ แต่จะมีการบอกเป็นนัย

เมทริกซ์มีขนาด. "ความกว้าง" คือจำนวนแถว (ม.) "ความยาว" คือจำนวนคอลัมน์ (n) จากนั้นขนาดของเมทริกซ์ A (มักใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สำหรับการกำหนด) จะแสดงเป็น A_m×n ถ้า m=n เมทริกซ์นี้จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและm=n - คำสั่งของมัน ดังนั้น องค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์ A สามารถแสดงด้วยจำนวนแถวและคอลัมน์: a_xy; x - หมายเลขแถว, เปลี่ยน [1, m], y - หมายเลขคอลัมน์, เปลี่ยน [1, n].

ในวิธีเกาส์เซียน เมทริกซ์ไม่ใช่ประเด็นหลักของการแก้ปัญหา โดยหลักการแล้ว การดำเนินการทั้งหมดสามารถทำได้โดยตรงกับสมการ อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์จะยุ่งยากกว่ามาก และจะทำให้สับสนได้ง่ายขึ้นมาก

รอบคัดเลือก

เมทริกซ์ก็มีดีเทอร์มีแนนต์ด้วย นี่เป็นคุณสมบัติที่สำคัญมาก การหาความหมายของมันตอนนี้ไม่คุ้มเสีย คุณสามารถแสดงวิธีการคำนวณ แล้วบอกคุณสมบัติของเมทริกซ์ที่มันกำหนด วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาดีเทอร์มีแนนต์คือการใช้เส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมจินตภาพถูกวาดในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่อยู่ในแต่ละองค์ประกอบจะถูกคูณ จากนั้นจึงเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้: เส้นทแยงมุมที่มีความลาดเอียงไปทางขวา - ด้วยเครื่องหมาย "บวก" โดยมีความลาดเอียงไปทางซ้าย - พร้อมเครื่องหมาย "ลบ"

โปรดทราบว่าดีเทอร์มีแนนต์สามารถคำนวณได้เฉพาะเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม คุณสามารถทำได้ดังนี้: เลือกจำนวนแถวที่น้อยที่สุดและจำนวนคอลัมน์ (ปล่อยให้เป็น k) จากนั้นสุ่มทำเครื่องหมาย k คอลัมน์และ k แถวในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่จุดตัดของคอลัมน์และแถวที่เลือกจะสร้างเมทริกซ์สี่เหลี่ยมใหม่ หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ จะถูกเรียกเป็นไมเนอร์พื้นฐานของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมดั้งเดิม

ก่อนวิธีการเริ่มแก้ระบบสมการโดยวิธีเกาส์ การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ก็ไม่เสียหาย ถ้ามันกลายเป็นศูนย์ เราก็บอกได้ทันทีว่าเมทริกซ์นั้นมีจำนวนคำตอบเป็นอนันต์ หรือไม่มีเลยก็ได้ ในกรณีที่น่าเศร้าเช่นนี้ คุณต้องไปต่อและค้นหาอันดับของเมทริกซ์

การจำแนกประเภทของระบบ

มีบางอย่างเช่นอันดับของเมทริกซ์ นี่คือลำดับสูงสุดของดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (จำฐานรอง เราสามารถพูดได้ว่าอันดับของเมทริกซ์คือลำดับของฐานรอง)

วิธีที่สิ่งต่าง ๆ มีอันดับ SLOW สามารถแบ่งออกเป็น:

• ร่วม. สำหรับระบบร่วม ลำดับของเมทริกซ์หลัก (ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น) จะตรงกับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย (พร้อมคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ) ระบบดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหา แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นระบบเดียว ดังนั้นระบบร่วมจึงแบ่งออกเป็น:
• - แน่นอน - มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร ในบางระบบ ลำดับของเมทริกซ์และจำนวนที่ไม่รู้จักจะเท่ากัน (หรือจำนวนคอลัมน์ที่เหมือนกัน);
• - ไม่แน่นอน - มีวิธีแก้ปัญหามากมาย อันดับของเมทริกซ์ในระบบดังกล่าวน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก
• เข้ากันไม่ได้ สำหรับระบบดังกล่าว ลำดับของเมทริกซ์หลักและส่วนขยายไม่ตรงกัน ระบบที่เข้ากันไม่ได้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

วิธีเกาส์นั้นดีเพราะจะช่วยให้คุณได้หลักฐานที่ไม่คลุมเครือเกี่ยวกับความไม่สอดคล้องของระบบ (โดยไม่ต้องคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดใหญ่) หรือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบที่มีคำตอบเป็นอนันต์

การแปลงเบื้องต้น

ก่อนวิธีการดำเนินการแก้ปัญหาของระบบโดยตรง ช่วยลดความยุ่งยากและสะดวกต่อการคำนวณ สิ่งนี้ทำได้โดยการแปลงเบื้องต้น - เพื่อให้การใช้งานไม่เปลี่ยนแปลงคำตอบสุดท้ายไม่ว่าทางใด ควรสังเกตว่าการแปลงเบื้องต้นบางส่วนข้างต้นใช้ได้สำหรับเมทริกซ์เท่านั้น ซึ่งแหล่งที่มาคือ SLAE อย่างแม่นยำ นี่คือรายการการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้:

1. เปลี่ยนสาย. เป็นที่แน่ชัดว่าถ้าเราเปลี่ยนลำดับของสมการในบันทึกของระบบ สิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหาแต่อย่างใด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสลับแถวในเมทริกซ์ของระบบนี้ แน่นอนว่าอย่าลืมเกี่ยวกับคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ
2. การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของสตริงด้วยปัจจัยบางอย่าง มีประโยชน์มาก! ด้วยสิ่งนี้ คุณสามารถลดตัวเลขจำนวนมากในเมทริกซ์หรือลบศูนย์ได้ ชุดของการแก้ปัญหาตามปกติจะไม่เปลี่ยนแปลงและจะสะดวกยิ่งขึ้นในการดำเนินการต่อไป สิ่งสำคัญคือสัมประสิทธิ์ไม่ควรเท่ากับศูนย์
3. ลบบรรทัดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน ส่วนนี้ต่อจากย่อหน้าที่แล้ว หากสองแถวหรือมากกว่าในเมทริกซ์มีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน เมื่อคูณ / หารหนึ่งในแถวด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วน จะได้แถวที่เหมือนกันทุกประการสองแถว (หรือมากกว่านั้น) และคุณสามารถเอาแถวพิเศษออกได้ หนึ่ง
4. ลบบรรทัดว่าง หากในระหว่างการแปลงได้รับสตริงที่องค์ประกอบทั้งหมดรวมถึงสมาชิกอิสระเป็นศูนย์ดังนั้นสตริงดังกล่าวสามารถเรียกได้ว่าเป็นศูนย์และโยนออกจากเมทริกซ์
5. การเพิ่มองค์ประกอบของแถวหนึ่งขององค์ประกอบอีกแถวหนึ่ง (ตามคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง) คูณด้วยสัมประสิทธิ์บางค่า การเปลี่ยนแปลงที่คลุมเครือและสำคัญที่สุดของทั้งหมด ควรค่าแก่การพูดถึงมันอย่างละเอียด

การบวกสตริงคูณด้วยตัวประกอบ

เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ ควรถอดประกอบขั้นตอนนี้ทีละขั้นตอน สองแถวนำมาจากเมทริกซ์:

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a₂₁ a₂₂ … a_2n | b₂

สมมติว่าคุณต้องบวกตัวแรกคูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-2" กับตัวที่สอง

a'₂₁ =a₂₁ + -2×a₁₁

a'₂₂ =a₂₂ + -2×a₁₂

a'_2n =a_2n + -2×a_1n

จากนั้นแถวที่สองในเมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยแถวใหม่ ในขณะที่แถวแรกยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a'₂₁ a'₂₂ … a'_2n | b₂

ควรสังเกตว่าสามารถเลือกตัวประกอบการคูณในลักษณะที่ผลของการเพิ่มสองสตริง หนึ่งในองค์ประกอบของสตริงใหม่มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะได้รับสมการในระบบซึ่งจะมีสมการที่ไม่ทราบจำนวนหนึ่ง และถ้าคุณได้สมการดังกล่าวสองสมการ การดำเนินการก็สามารถทำได้อีกครั้ง และรับสมการที่จะมีค่าไม่ทราบค่าน้อยกว่าสองค่าอยู่แล้ว และถ้าทุกครั้งที่เราเปลี่ยนเป็นศูนย์ 1 สัมประสิทธิ์สำหรับทุกแถวที่ต่ำกว่าค่าเดิม เราก็สามารถลงไปที่ด้านล่างสุดของเมทริกซ์แล้วได้สมการที่ไม่ทราบค่าตัวเดียว นี้เรียกว่าแก้ระบบด้วยวิธีเกาส์

โดยทั่วไป

ให้มีระบบ มีสมการ m และรากที่ไม่รู้จัก คุณสามารถเขียนแบบนี้:

เมทริกซ์หลักรวบรวมจากสัมประสิทธิ์ของระบบ เพิ่มคอลัมน์ของสมาชิกอิสระในเมทริกซ์แบบขยายและคั่นด้วยแถบเพื่อความสะดวก

ถัดไป:

• แถวแรกของเมทริกซ์คูณด้วยสัมประสิทธิ์ k=(-a₂₁/a₁₁);
• เพิ่มแถวที่แก้ไขแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์แล้ว
• แทนที่จะเป็นแถวที่สอง ผลลัพธ์ของการเพิ่มจากย่อหน้าก่อนหน้าจะถูกแทรกลงในเมทริกซ์
• ตอนนี้สัมประสิทธิ์แรกในบรรทัดที่สองใหม่คือ a₁₁ × (-a₂₁/a_{11) + a}21 _=-a21 _{+ a}21_=0.

ตอนนี้ดำเนินการแปลงชุดเดียวกันแล้ว เฉพาะบรรทัดแรกและบรรทัดที่สามเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง ดังนั้น ในแต่ละขั้นตอนของอัลกอริทึม องค์ประกอบ a₂₁ จะถูกแทนที่ด้วย a₃₁ จากนั้นทุกอย่างจะวนซ้ำสำหรับ₄₁, … a_m1 ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ที่องค์ประกอบแรกในแถว [2, m] เท่ากับศูนย์ ตอนนี้คุณต้องลืมเกี่ยวกับบรรทัดแรกและใช้อัลกอริทึมเดียวกันโดยเริ่มจากบรรทัดที่สอง:

• k สัมประสิทธิ์=(-a₃₂/a₂₂);
• บรรทัดที่แก้ไขที่สองถูกเพิ่มในบรรทัด "ปัจจุบัน";
• ผลของการเพิ่มจะถูกแทนที่ในบรรทัดที่สาม ที่สี่ และต่อๆ ไป ในขณะที่บรรทัดแรกและที่สองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
• ในแถว [3, m] ของเมทริกซ์ สององค์ประกอบแรกมีค่าเท่ากับศูนย์แล้ว

อัลกอริทึมจะต้องทำซ้ำจนกว่าสัมประสิทธิ์ k=(-a_{m, m-1}/a_mm ปรากฏขึ้น) ซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมทำงานครั้งสุดท้ายสำหรับสมการที่ต่ำกว่าเท่านั้น ตอนนี้เมทริกซ์ดูเหมือนสามเหลี่ยมหรือมีรูปร่างเป็นขั้นบันได บรรทัดล่างสุดประกอบด้วยสมการ a_mn × x =b_m ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเป็นที่รู้กัน และรากแสดงผ่านพวกมัน: x =b_m/a_mn. รากที่เป็นผลลัพธ์จะถูกแทนที่ลงในแถวบนสุดเพื่อค้นหา x_n-1=(b_m-1 - a_{m-1, n×(b}m_/amn_))÷am-1, n-1_{. และอื่นๆ โดยการเปรียบเทียบ: ในแต่ละบรรทัดถัดไปจะมีรูทใหม่ และเมื่อไปถึง "บนสุด" ของระบบแล้ว เราจะพบชุดโซลูชัน [x}1_{, … x ]. มันจะเป็นหนึ่งเดียว}

เมื่อไม่มีวิธีแก้ไข

หากองค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นพจน์ว่าง เท่ากับศูนย์ในแถวเมทริกซ์ สมการที่สอดคล้องกับแถวนี้จะดูเหมือน 0=b มันไม่มีทางออก และเนื่องจากสมการดังกล่าวรวมอยู่ในระบบ ดังนั้นเซตของคำตอบของทั้งระบบจึงว่างเปล่า นั่นคือมันเสื่อมโทรม

เมื่อมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

อาจกลายเป็นว่าในเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ลดรูปแล้ว ไม่มีแถวที่มีองค์ประกอบเดียว - สัมประสิทธิ์ของสมการ และอีกหนึ่ง - สมาชิกอิสระ มีเพียงสตริงที่เมื่อเขียนใหม่จะดูเหมือนสมการที่มีตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย ในกรณีนี้ สามารถให้คำตอบในรูปแบบของคำตอบทั่วไป ทำอย่างไร

ทั้งหมดตัวแปรในเมทริกซ์แบ่งออกเป็นแบบพื้นฐานและแบบอิสระ พื้นฐาน - สิ่งเหล่านี้คือส่วนที่ยืนอยู่ "บนขอบ" ของแถวในเมทริกซ์แบบก้าว ส่วนที่เหลือฟรี ในการแก้ปัญหาทั่วไป ตัวแปรพื้นฐานจะถูกเขียนในรูปของตัวแปรอิสระ

เพื่อความสะดวก เมทริกซ์จะถูกเขียนกลับเข้าไปในระบบสมการก่อน จากนั้นในตัวแปรสุดท้ายที่ตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวยังคงอยู่ มันยังคงอยู่ที่ด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่เหลือจะถูกถ่ายโอนไปยังอีกตัวแปรหนึ่ง ทำได้สำหรับแต่ละสมการที่มีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว จากนั้น ในสมการที่เหลือ หากเป็นไปได้ แทนที่จะใช้ตัวแปรพื้นฐาน นิพจน์ที่ได้รับสำหรับตัวแปรจะถูกแทนที่ หากผลลัพธ์เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว ผลลัพธ์นั้นก็จะแสดงออกมาอีกครั้ง ไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวแปรพื้นฐานแต่ละตัวจะถูกเขียนเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรอิสระ นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ SLAE

คุณยังสามารถหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานของระบบได้ - ให้ค่าตัวแปรอิสระ จากนั้นคำนวณค่าของตัวแปรพื้นฐานสำหรับกรณีนี้โดยเฉพาะ มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน

วิธีแก้ปัญหาพร้อมตัวอย่างเฉพาะ

นี่คือระบบสมการ

เพื่อความสะดวก ควรทำเมทริกซ์ทันที

เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อแก้โดยวิธีเกาส์ สมการที่สอดคล้องกับแถวแรกจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสิ้นสุดการแปลง ดังนั้นมันจะทำกำไรได้มากกว่าถ้าองค์ประกอบด้านซ้ายบนของเมทริกซ์มีขนาดเล็กที่สุด - จากนั้นองค์ประกอบแรกแถวที่เหลือหลังจากการดำเนินการจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในเมทริกซ์ที่คอมไพล์แล้ว จะเป็นประโยชน์ที่จะวางแถวที่สองแทนที่แถวแรก

ถัดไป คุณต้องเปลี่ยนบรรทัดที่สองและสามเพื่อให้องค์ประกอบแรกกลายเป็นศูนย์ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้บวกเข้ากับอันแรก คูณด้วยสัมประสิทธิ์:

บรรทัดที่สอง: k=(-a₂₁/a₁₁)=(-3/1)=-3

a'₂₁ =a₂₁ + k×a₁₁=3 + (-3)×1=0

a'₂₂ =a₂₂ + k×a₁₂ =-1 + (- 3)×2=-7

a'₂₃ =a₂₃ + k×a₁₃ =1 + (-3)×4=-11

b'₂ =b₂ + k×b₁=12 + (-3)×12=-24

บรรทัดที่สาม: k=(-a₃₁/a₁₁)=(- 5/1)=-5

a'₃₁ =a_{31+ k×a}11_{=5 + (-5)×1=0}

a'₃₂ =a_{32+ k×a}12 _{=1 + (-5)×2=-9}

a'₃₃ =a₃₃ + k×a₁₃ =2 + (-5)×4=-18

b'₃=b₃ + k×b₁=3 + (-5))×12=-57

ตอนนี้ เพื่อไม่ให้สับสน คุณต้องเขียนเมทริกซ์ที่มีผลลัพธ์การแปลงขั้นกลาง

ชัดเจน เมทริกซ์ดังกล่าวสามารถอ่านได้ง่ายขึ้นด้วยความช่วยเหลือจากการดำเนินการบางอย่าง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถลบ "minuses" ทั้งหมดออกจากบรรทัดที่สองโดยคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1"

นอกจากนี้ยังควรสังเกตด้วยว่าในบรรทัดที่สาม องค์ประกอบทั้งหมดเป็นทวีคูณของสาม จากนั้นคุณสามารถตัดสตริงด้วยตัวเลขนี้ คูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1/3" (ลบ - พร้อมกันเพื่อลบค่าลบ)

ดูดีขึ้นเยอะเลย ตอนนี้เราต้องปล่อยให้อยู่คนเดียวในบรรทัดแรกและทำงานกับบรรทัดที่สองและสาม งานคือการเพิ่มแถวที่สองในแถวที่สาม คูณด้วยปัจจัยที่ทำให้องค์ประกอบ a₃₂ กลายเป็นศูนย์

k=(-a₃₂/a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (หากในระหว่างการแปลงบางส่วน ในคำตอบนั้นไม่ใช่จำนวนเต็ม ขอแนะนำให้ปล่อย "ตามที่เป็น" ไว้ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดา จากนั้น เมื่อได้รับคำตอบแล้ว ให้ตัดสินใจว่าจะปัดเศษและแปลงเป็นรูปแบบอื่นของ สัญกรณ์)

a'₃₂=a₃₂ + k×a₂₂=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0

a'₃₃=a₃₃ + k×a₂₃=6 + (-3 /7)×11=-9/7

b'₃ =b₃ + k×b₂=19 + (-3 /7)×24=-61/7

เมทริกซ์ถูกเขียนอีกครั้งด้วยค่าใหม่

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

อย่างที่คุณเห็น เมทริกซ์ผลลัพธ์มีรูปแบบขั้นบันไดแล้ว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมของระบบด้วยวิธีเกาส์ สิ่งที่สามารถทำได้ที่นี่คือการลบสัมประสิทธิ์โดยรวม "-1/7" ออกจากบรรทัดที่สาม

เอาล่ะทุกคนดี. ประเด็นมีขนาดเล็ก - เขียนเมทริกซ์อีกครั้งในรูปแบบระบบสมการและคำนวณราก

x + 2y + 4z=12 (1)

7y + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

อัลกอริธึมที่ใช้ค้นหารากตอนนี้เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับในวิธีเกาส์ สมการ (3) มีค่า z:

z=61/9

ถัดไป กลับไปที่สมการที่สอง:

y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9

และสมการแรกให้คุณหา x:

x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3

เรามีสิทธิ์เรียกระบบดังกล่าวว่าการร่วมทุน และแน่นอนว่านั่นคือการมีทางออกที่ไม่เหมือนใคร คำตอบเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

x₁=-2/3, y=-65/9, z=61/9.

ตัวอย่างระบบไม่มีกำหนด

รูปแบบการแก้ระบบบางระบบโดยวิธีเกาส์ได้รับการวิเคราะห์ ตอนนี้มีความจำเป็นต้องพิจารณากรณีที่ระบบไม่มีกำหนด นั่นคือจะพบวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด

x₁ + x₂ + x₃ + x _{4+ x}5_{=7 (1)}

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x ₄ - 3x₅=-2 (2)

x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x ₅ =23 (3)

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x ₄ - x₅=12 (4)

รูปแบบของระบบนั้นน่าตกใจอยู่แล้ว เพราะจำนวนที่ไม่รู้จักคือ n=5 และอันดับของเมทริกซ์ระบบนั้นน้อยกว่าตัวเลขนี้แน่นอน เพราะจำนวนแถวคือ m=4 นั่นคือ ลำดับที่ใหญ่ที่สุดของดีเทอร์มีแนนต์กำลังสองคือ 4 ดังนั้นมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด และเราต้องมองหารูปแบบทั่วไปของมัน วิธีเกาส์สำหรับสมการเชิงเส้นช่วยให้คุณทำสิ่งนี้ได้

ขั้นแรก คอมไพล์เมทริกซ์เสริมก็เช่นเคย

บรรทัดที่สอง: สัมประสิทธิ์ k=(-a₂₁/a₁₁)=-3. ในบรรทัดที่สาม องค์ประกอบแรกอยู่ก่อนการแปลง ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องแตะต้องอะไรเลย คุณต้องปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น บรรทัดที่สี่: k=(-a₄₁/a₁₁)=-5

การคูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วยสัมประสิทธิ์แต่ละตัวแล้วบวกเข้ากับแถวที่ต้องการ เราจะได้เมทริกซ์ของรูปแบบต่อไปนี้:

อย่างที่คุณเห็น แถวที่สอง สาม และสี่ประกอบด้วยองค์ประกอบตามสัดส่วนซึ่งกันและกัน โดยทั่วไปที่สองและสี่จะเหมือนกัน ดังนั้นหนึ่งในนั้นสามารถลบออกได้ทันที และที่เหลือคูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-1" และรับบรรทัดที่ 3 และอีกครั้ง ปล่อยให้หนึ่งในสองบรรทัดที่เหมือนกัน

ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ ระบบยังไม่ได้เขียน มันเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่เพื่อกำหนดตัวแปรพื้นฐาน - ยืนอยู่ที่สัมประสิทธิ์ a₁₁=1 และ a₂₂=1 และฟรี - ที่เหลือทั้งหมด

ในสมการที่สองมีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียว - x₂ ดังนั้นจึงสามารถแสดงออกได้จากตรงนั้น โดยเขียนผ่านตัวแปร x₃, x₄, x₅ ซึ่ง ฟรี

แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการแรก

มันกลายเป็นสมการที่ตัวแปรพื้นฐานเพียงอย่างเดียวคือ x₁ ลองทำแบบเดียวกันกับ x₂.

ตัวแปรพื้นฐานทั้งหมด ซึ่งมีสองตัว แสดงในรูปของตัวแปรอิสระสามตัว ตอนนี้คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบทั่วไปได้

คุณยังสามารถระบุหนึ่งในโซลูชันเฉพาะของระบบ สำหรับกรณีดังกล่าว ตามกฎแล้ว ศูนย์จะถูกเลือกเป็นค่าสำหรับตัวแปรอิสระ จากนั้นคำตอบจะเป็น:

-16, 23, 0, 0, 0.

ตัวอย่างระบบที่ไม่สอดคล้องกัน

การแก้สมการไม่สมํ่าเสมอโดยวิธีเกาส์นั้นเร็วที่สุด จะสิ้นสุดทันทีที่สมการหาคำตอบไม่ได้ในขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่ง นั่นคือขั้นตอนที่มีการคำนวณรากซึ่งค่อนข้างยาวและน่าเบื่อหายไป ระบบกำลังอยู่ในการพิจารณา:

x + y - z=0 (1)

2x - y - z=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

เช่นเคย เมทริกซ์ถูกคอมไพล์แล้ว:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

และย่อเป็นขั้น:

k₁ =-2k₂ =-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

หลังจากการแปลงครั้งแรก บรรทัดที่สามมีสมการของรูปแบบ

0=7, ไม่มีวิธีแก้. ดังนั้น ระบบไม่สอดคล้องกัน และคำตอบคือเซตว่าง

ข้อดีและข้อเสียของวิธีการ

หากคุณเลือกวิธีที่จะแก้ปัญหา SLAE บนกระดาษด้วยปากกา วิธีที่พิจารณาในบทความนี้จะดูน่าสนใจที่สุด ในการแปลงเบื้องต้น มันจะยากกว่าที่จะเกิดความสับสนมากกว่าที่เกิดขึ้นถ้าคุณต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ด้วยตนเองหรือเมทริกซ์ผกผันบางตัวที่หากิน อย่างไรก็ตาม หากคุณใช้โปรแกรมเพื่อทำงานกับข้อมูลประเภทนี้ เช่น สเปรดชีต ปรากฎว่าโปรแกรมดังกล่าวมีอัลกอริธึมสำหรับคำนวณพารามิเตอร์หลักของเมทริกซ์อยู่แล้ว - ดีเทอร์มิแนนต์ รอง เมทริกซ์ผกผัน และทรานสโพสเมทริกซ์ และอื่นๆ. และถ้าคุณแน่ใจว่าเครื่องจะคำนวณค่าเหล่านี้เองและจะไม่ทำผิดพลาด คุณควรใช้วิธีเมทริกซ์หรือสูตรของแครมเมอร์เพราะว่าการใช้งานเริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน

แอปพลิเคชัน

เนื่องจากโซลูชันเกาส์เซียนเป็นอัลกอริธึม และเมทริกซ์เป็นอาร์เรย์สองมิติ จึงสามารถใช้ในการเขียนโปรแกรมได้ แต่เนื่องจากบทความกำหนดตำแหน่งตัวเองเป็นแนวทาง "สำหรับหุ่นจำลอง" จึงควรกล่าวว่าที่ที่ง่ายที่สุดในการใส่วิธีการคือสเปรดชีต เช่น Excel อีกครั้ง SLAE ใดๆ ที่ป้อนในตารางในรูปแบบของเมทริกซ์จะถูกพิจารณาโดย Excel เป็นอาร์เรย์สองมิติ และสำหรับการดำเนินการกับพวกมัน มีคำสั่งดีๆ มากมาย: นอกจากนี้ (คุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น!), การคูณด้วยตัวเลข, การคูณเมทริกซ์ (รวมถึงข้อจำกัดบางอย่าง) การหาเมทริกซ์ผกผันและทรานสโพส และที่สำคัญที่สุดคือการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ หากงานที่ใช้เวลานานนี้ถูกแทนที่ด้วยคำสั่งเดียว การพิจารณาอันดับของเมทริกซ์จะเร็วกว่ามาก ดังนั้นจึงสร้างความเข้ากันได้หรือไม่สอดคล้องกัน