สมการกำลังสองมักปรากฏในปัญหาหลายอย่างในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ดังนั้นนักเรียนทุกคนควรแก้ปัญหาได้ บทความนี้ให้รายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการหลักในการแก้สมการกำลังสอง และยังมีตัวอย่างการใช้งาน
สมการที่เรียกว่ากำลังสอง
อันดับแรก เราจะตอบคำถามของย่อหน้านี้เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นว่าบทความจะเกี่ยวกับอะไร ดังนั้น สมการกำลังสองจึงมีรูปแบบทั่วไปดังนี้: c + bx+ax2=0, โดยที่ a, b, c คือจำนวนหนึ่งซึ่งเรียกว่าสัมประสิทธิ์ ในที่นี้ a≠0 เป็นเงื่อนไขบังคับ มิฉะนั้น สมการที่ระบุจะเสื่อมลงเป็นสมการเชิงเส้น สัมประสิทธิ์ที่เหลือ (b, c) สามารถใช้ค่าใดๆ ก็ได้ ซึ่งรวมถึงศูนย์ด้วย ดังนั้น นิพจน์เช่น ax2=0, โดยที่ b=0 และ c=0, หรือ c+ax2=0, โดยที่ b=0 หรือ bx+ax2=0 โดยที่ c=0 ยังเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งเรียกว่าไม่สมบูรณ์ เนื่องจากสัมประสิทธิ์เชิงเส้น b ในตัวพวกมันเป็นศูนย์หรือศูนย์เป็นเทอมอิสระ c หรือทั้งคู่หายไป
สมการที่เรียก a=1 ว่าลด คือ มันมีรูปแบบ: x2 + с/a + (b/a)x=0
คำตอบของสมการกำลังสองคือการหาค่า x ที่ตรงกับความเท่าเทียมกันของมัน ค่าเหล่านี้เรียกว่ารูต เนื่องจากสมการที่กำลังพิจารณาคือการแสดงออกของดีกรีที่สอง ซึ่งหมายความว่าจำนวนสูงสุดของรากของมันจะต้องไม่เกินสองค่า
วิธีแก้สมการกำลังสองคืออะไร
โดยทั่วไปมีวิธีการแก้ปัญหา 4 วิธี มีรายชื่อดังต่อไปนี้:
- แฟคตอริ่ง
- นอกเหนือจากจัตุรัส
- ใช้สูตรที่รู้จัก (ผ่านการเลือกปฏิบัติ).
- วิธีแก้คือเรขาคณิต
ดังที่คุณเห็นจากรายการด้านบน สามวิธีแรกเป็นพีชคณิต ดังนั้นจึงใช้บ่อยกว่าวิธีสุดท้าย ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพล็อตฟังก์ชัน
มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา อาจรวมอยู่ในอันดับที่ 5 ในรายการด้านบน อย่างไรก็ตาม ยังไม่เสร็จสิ้น เนื่องจากทฤษฎีบทของ Vieta เป็นผลสืบเนื่องง่ายๆ จากวิธีที่ 3
ในบทความต่อไป เราจะพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาที่มีชื่อ และยังให้ตัวอย่างการใช้เพื่อค้นหารากของสมการเฉพาะ
วิธี 1. แฟคตอริ่ง
สำหรับวิธีนี้ในทางคณิตศาสตร์ของสมการกำลังสองมีความสวยงามชื่อ: การแยกตัวประกอบ สาระสำคัญของวิธีนี้มีดังนี้: จำเป็นต้องนำเสนอสมการกำลังสองเป็นผลคูณของสองพจน์ (นิพจน์) ซึ่งต้องเท่ากับศูนย์ หลังจากการแสดงดังกล่าว คุณสามารถใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ ซึ่งจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งคน (ทั้งหมด) เป็นศูนย์
ตอนนี้ ให้พิจารณาลำดับของการกระทำเฉพาะที่ต้องทำเพื่อค้นหารากของสมการ:
- ย้ายสมาชิกทั้งหมดไปยังส่วนหนึ่งของนิพจน์ (เช่น ไปทางซ้าย) เพื่อให้เหลือเพียง 0 ในส่วนอื่น (ขวา)
- แทนผลรวมของเทอมในส่วนหนึ่งของสมการเป็นผลคูณของสมการเชิงเส้นสองสมการ
- กำหนดนิพจน์เชิงเส้นแต่ละนิพจน์ให้เป็นศูนย์และแก้สมการ
อย่างที่คุณเห็น อัลกอริธึมการแยกตัวประกอบค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตาม นักเรียนส่วนใหญ่มีปัญหาระหว่างการนำจุดที่ 2 ไปใช้งาน ดังนั้นเราจะอธิบายในรายละเอียดเพิ่มเติม
ในการเดาว่านิพจน์เชิงเส้น 2 นิพจน์ใด เมื่อคูณกัน จะได้สมการกำลังสองที่ต้องการ คุณต้องจำกฎง่ายๆ สองข้อ:
- สัมประสิทธิ์เชิงเส้นของนิพจน์เชิงเส้นสองนิพจน์ เมื่อคูณกัน ควรให้สัมประสิทธิ์แรกของสมการกำลังสอง นั่นคือ ตัวเลข a
- เงื่อนไขอิสระของนิพจน์เชิงเส้น เมื่อคูณ ควรให้ตัวเลข c ของสมการที่ต้องการ
หลังจากเลือกจำนวนปัจจัยทั้งหมดแล้ว ควรคูณปัจจัยเหล่านั้น และหากได้สมการที่ต้องการแล้ว ให้ไปที่ขั้นตอนที่ 3 ในอัลกอริทึมข้างต้น มิฉะนั้น คุณควรเปลี่ยนตัวคูณ แต่คุณต้องทำเช่นนี้เพื่อให้เป็นไปตามกฎข้างต้นเสมอ
ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยวิธีแยกตัวประกอบ
เรามาดูกันชัดๆ ว่าอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองคือการเขียนและหารากที่ไม่รู้จักกันอย่างไร ให้นิพจน์ทั่วไปถูกกำหนด เช่น 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. มาดูวิธีแก้ปัญหากันโดยสังเกตลำดับของคะแนนตั้งแต่ 1 ถึง 3 ซึ่งระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ
รายการที่ 1 ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายและจัดเรียงตามลำดับคลาสสิกสำหรับสมการกำลังสอง เรามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 2x+(-8)+x2=0.
ข้อ 2 เราแตกมันเป็นผลคูณของสมการเชิงเส้น ตั้งแต่ a=1 และ c=-8 จากนั้นเราจะเลือกผลิตภัณฑ์ดังกล่าว (x-2)(x+4) เป็นไปตามกฎสำหรับการค้นหาปัจจัยที่คาดหวังที่ระบุไว้ในย่อหน้าด้านบน ถ้าเราเปิดวงเล็บ เราจะได้: -8+2x+x2 นั่นคือ เราได้นิพจน์เดียวกับทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งหมายความว่าเราเดาตัวคูณได้อย่างถูกต้อง และเราสามารถไปยังขั้นตอนที่ 3 ของอัลกอริทึมได้
รายการ 3. เปรียบแต่ละตัวประกอบให้เป็นศูนย์ เราได้: x=-4 และ x=2.
หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ ขอแนะนำให้ตรวจสอบโดยการแทนที่รากที่พบลงในสมการเดิม ในกรณีนี้ เรามี: 22+22-8=0 และ 2(-4)+(-4)2 -8=0. พบรากอย่างถูกต้อง
ด้วยเหตุนี้ โดยใช้วิธีแยกตัวประกอบ เราพบว่าสมการที่กำหนดมีรากที่แตกต่างกัน 2 ตัวมี: 2 และ -4.
วิธี 2. เติมเต็มให้เต็มช่อง
ในพีชคณิตของสมการกำลังสอง วิธีคูณไม่สามารถใช้ได้เสมอ เนื่องจากในกรณีของค่าเศษส่วนของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ความยากลำบากเกิดขึ้นในการดำเนินการตามวรรค 2 ของอัลกอริทึม
ในทางกลับกัน วิธีกำลังสองเต็มนั้นเป็นสากลและสามารถนำไปใช้กับสมการกำลังสองทุกประเภท สาระสำคัญของมันคือการดำเนินการดังต่อไปนี้:
- เงื่อนไขของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ a และ b ต้องถูกถ่ายโอนไปยังส่วนหนึ่งของสมการ และเทอมอิสระ c ไปยังอีกส่วนหนึ่ง
- ถัดไป ส่วนของความเสมอภาค (ขวาและซ้าย) ควรหารด้วยสัมประสิทธิ์ a นั่นคือ นำเสนอสมการในรูปแบบลด (a=1)
- รวมเทอมที่มีสัมประสิทธิ์ a และ b เพื่อแสดงในรูปกำลังสองของสมการเชิงเส้น ตั้งแต่ a \u003d 1 ดังนั้นสัมประสิทธิ์เชิงเส้นจะเท่ากับ 1 สำหรับเทอมอิสระของสมการเชิงเส้น จากนั้นจึงควรเท่ากับครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์เชิงเส้นของสมการกำลังสองที่ลดลง หลังจากวาดกำลังสองของนิพจน์เชิงเส้นแล้ว จำเป็นต้องเพิ่มตัวเลขที่เกี่ยวข้องทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน โดยที่พจน์อิสระตั้งอยู่ ซึ่งได้มาจากการขยายกำลังสอง
- ถอดรากที่สองด้วยเครื่องหมาย "+" และ "-" แล้วแก้สมการเชิงเส้นที่ได้รับ
อัลกอริทึมที่อธิบายในแวบแรกอาจถูกมองว่าค่อนข้างซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัตินั้นง่ายกว่าวิธีแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ส่วนเติมเต็มกำลังสอง
มาดูตัวอย่างสมการกำลังสองสำหรับฝึกการแก้โจทย์ด้วยวิธีที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อน ให้สมการกำลังสอง -10 - 6x+5x2=0 เราเริ่มแก้มันตามอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ข้างต้น
ข้อ 1 เราใช้วิธีการถ่ายโอนเมื่อแก้สมการกำลังสอง เราได้: - 6x+5x2=10.
จุดที่ 2 รูปแบบที่ลดลงของสมการนี้ได้มาจากการหารด้วยเลข 5 ของสมาชิกแต่ละตัว (หากทั้งสองส่วนถูกหารหรือคูณด้วยจำนวนเท่ากัน ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่) จากการแปลงรูป เราจะได้: x2 - 6/5x=2.
ข้อ 3 ครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ - 6/5 คือ -6/10=-3/5 ใช้ตัวเลขนี้ในการเติมกำลังสอง เราได้: (-3/5+x) 2 . เราขยายมันและลบพจน์อิสระที่เป็นผลลัพธ์ออกจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันเพื่อให้เป็นไปตามรูปแบบดั้งเดิมของสมการกำลังสองซึ่งเทียบเท่ากับการบวกไปทางขวา เป็นผลให้เราได้รับ: (-3/5+x)2=59/25.
ข้อที่ 4 คำนวณรากที่สองด้วยเครื่องหมายบวกและลบ แล้วหาราก: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5 รากที่พบทั้งสองมีค่าต่อไปนี้: x1=(√59+3)/5 และ x1=(3-√59)/5.
เนื่องจากการคำนวณเกี่ยวข้องกับการรูท จึงมีความเป็นไปได้สูงที่จะทำผิดพลาด ดังนั้นจึงแนะนำให้ตรวจสอบความถูกต้องของราก x2 และ x1 เราได้ x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0 แทนที่ตอนนี้x2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
ดังนั้น เราจึงแสดงให้เห็นว่ารากที่พบของสมการเป็นจริง
วิธี 3. การประยุกต์ใช้สูตรที่รู้จักกันดี
วิธีการแก้สมการกำลังสองนี้อาจจะง่ายที่สุด เพราะมันประกอบด้วยการแทนที่สัมประสิทธิ์เป็นสูตรที่ทราบ ในการใช้งานคุณไม่จำเป็นต้องคิดเกี่ยวกับการคอมไพล์อัลกอริธึมของโซลูชันเพียงแค่จำสูตรเดียวเท่านั้น ดังแสดงในภาพด้านบน
ในสูตรนี้ นิพจน์รากศัพท์ (b2-4ac) เรียกว่า discriminant (D) จากค่าของมันขึ้นอยู่กับว่าได้รูทอะไร มี 3 กรณี:
- D>0 จากนั้นสมการรากที่สองจะมีค่าจริงและต่างกัน
- D=0 จากนั้นอันหนึ่งได้รูท ซึ่งสามารถคำนวณได้จากนิพจน์ x=-b/(a2).
- D<0 แล้วคุณจะได้รากจินตภาพสองส่วน ซึ่งแสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น หมายเลข 3-5i นั้นซับซ้อน ในขณะที่หน่วยจินตภาพ i ตรงกับคุณสมบัติ: i2=-1.
ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาโดยการคำนวณการเลือกปฏิบัติ
มาดูตัวอย่างสมการกำลังสองเพื่อฝึกใช้สูตรข้างต้นกัน หารากของ -3x2-6+3x+4x=0 ขั้นแรก คำนวณค่าของ discriminant เราจะได้ D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
ตั้งแต่ได้มา D<0 ก็หมายความว่ารากของสมการที่พิจารณาเป็นจำนวนเชิงซ้อน ลองหาพวกมันโดยการแทนที่ค่าที่พบ D ลงในสูตรที่ระบุในย่อหน้าก่อนหน้า (แสดงในรูปภาพด้านบนด้วย) เราได้: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
วิธี 4. การใช้กราฟฟังก์ชัน
เรียกอีกอย่างว่าวิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการกำลังสอง ควรจะกล่าวว่าตามกฎแล้วจะไม่ใช้สำหรับเชิงปริมาณ แต่สำหรับการวิเคราะห์เชิงคุณภาพของสมการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา
สาระสำคัญของวิธีนี้คือการพล็อตฟังก์ชันกำลังสอง y=f(x) ซึ่งเป็นพาราโบลา จากนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดจุดที่พาราโบลาตัดกับแกน x (X) ซึ่งจะเป็นรากของสมการที่สอดคล้องกัน
เพื่อบอกว่าพาราโบลาจะตัดกับแกน X หรือไม่ ก็เพียงพอที่จะทราบตำแหน่งของจุดต่ำสุด (สูงสุด) และทิศทางของกิ่งก้านของมัน (เพิ่มขึ้นหรือลดลงได้) มีสองคุณสมบัติของเส้นโค้งนี้ที่ต้องจำ:
- ถ้า a>0 - พาราโบลาของกิ่งชี้ขึ้นด้านบน ในทางกลับกัน ถ้า a<0 ก็จะลดลง
- พิกัดต่ำสุด (สูงสุด) ของพาราโบลาคือ x=-b/(2a) เสมอ
ตัวอย่างเช่น คุณต้องพิจารณาว่าสมการ -4x+5x2+10=0 มีรากหรือไม่ พาราโบลาที่สอดคล้องกันจะถูกนำขึ้นข้างบน เนื่องจาก=5>0. ปลายสุดมีพิกัด: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. เนื่องจาก เส้นโค้งต่ำสุดอยู่เหนือแกน x (y=9, 2) จากนั้นจะไม่ตัดกับส่วนหลังใดๆค่า x นั่นคือสมการที่กำหนดไม่มีรากที่แท้จริง
ทฤษฎีบทของเวียต้า
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ทฤษฎีบทนี้เป็นผลมาจากวิธีที่ 3 ซึ่งใช้สูตรที่มีการเลือกปฏิบัติ สาระสำคัญของทฤษฎีบทเวียตาคือช่วยให้คุณสามารถเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ของสมการและรากของสมการเข้ากับความเท่าเทียมกันได้ มาหาความเท่าเทียมกันกันเถอะ
มาใช้สูตรคำนวนรากผ่านการแยกแยะกัน เพิ่มสองราก เราได้: x1+x2=-b/a ทีนี้ลองคูณรากด้วยกัน: x1x2 หลังจากชุดของการลดทอนเราจะได้ตัวเลข c/a
ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองด้วยทฤษฎีบทเวียตา คุณสามารถใช้ความเท่าเทียมกันทั้งสองที่ได้รับ หากรู้ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสามของสมการแล้ว ก็สามารถหารากได้โดยการแก้ระบบที่เหมาะสมของสมการทั้งสองนี้
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของเวียตา
คุณต้องเขียนสมการกำลังสองถ้าคุณรู้ว่ามันมีรูปแบบ x2+c=-bx และรากของมันคือ 3 และ -4.
ตั้งแต่ a=1 ในสมการที่กำลังพิจารณา สูตรเวียตาจะมีลักษณะดังนี้: x2+x1=-b และ x2x1=น. แทนที่ค่าที่รู้จักของรูตเราได้รับ: b=1 และ c=-12 ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการลดกำลังสองที่กู้คืนได้จะมีลักษณะดังนี้: x2-12=-1x คุณสามารถแทนที่ค่าของรากลงไป และตรวจสอบให้แน่ใจว่ามีความเท่าเทียมกัน
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเวียตาแบบย้อนกลับนั่นคือการคำนวณรากโดยรูปแบบของสมการที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ช่วยให้จำนวนเต็มขนาดเล็ก a, b และ c สามารถหาคำตอบได้อย่างรวดเร็ว (อย่างสังหรณ์ใจ)