มุมพีระมิดไดฮีดรัลและวิธีการคำนวณ

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

พารามิเตอร์เชิงเส้นตรงทั่วไปของปิรามิดใดๆ คือ ความยาวของด้านข้างของฐาน ความสูง ขอบด้านข้าง และเส้นตั้งฉาก อย่างไรก็ตาม มีคุณลักษณะอื่นที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ที่ระบุไว้ นั่นคือมุมไดฮีดรัล พิจารณาในบทความว่ามันคืออะไรและจะหาได้อย่างไร

ปิรามิดรูปทรงอวกาศ

นักเรียนทุกคนมีความคิดที่ดีเกี่ยวกับสิ่งที่กำลังเสี่ยงเมื่อได้ยินคำว่า "พีระมิด" สามารถสร้างทางเรขาคณิตได้ดังนี้: เลือกรูปหลายเหลี่ยม จากนั้นกำหนดจุดในช่องว่างและเชื่อมต่อกับแต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยม ตัวเลขสามมิติที่ได้จะเป็นปิรามิดประเภทใดก็ได้ รูปหลายเหลี่ยมที่ก่อตัวขึ้นเรียกว่าฐาน และจุดที่มุมทั้งหมดเชื่อมต่อกันคือจุดยอดของรูป รูปด้านล่างแผนผังแสดงปิรามิดห้าเหลี่ยม

จะเห็นได้ว่าพื้นผิวไม่เพียงแต่สร้างรูปห้าเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังมีสามเหลี่ยมห้ารูปอีกด้วย โดยทั่วไป จำนวนของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนด้านของฐานเหลี่ยม

มุมไดฮีดรัลของรูป

เมื่อพิจารณาปัญหาเรขาคณิตบนระนาบ มุมใดๆ จะเกิดขึ้นจากเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันหรือส่วน ในอวกาศ มุมไดเฮดรัลจะเพิ่มเข้าไปในมุมเชิงเส้นเหล่านี้ ซึ่งเกิดจากจุดตัดของระนาบสองระนาบ

หากใช้คำจำกัดความที่ทำเครื่องหมายไว้ของมุมในอวกาศกับรูปที่เป็นปัญหา เราสามารถพูดได้ว่ามีมุมไดฮีดรัลสองประเภท:

ที่ฐานปิรามิด. มันถูกสร้างขึ้นโดยระนาบของฐานและด้านใดด้านหนึ่ง (สามเหลี่ยม) ซึ่งหมายความว่ามุมฐานของพีระมิดคือ n โดยที่ n คือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม
ระหว่างด้านข้าง (สามเหลี่ยม). จำนวนมุมไดเฮดรัลเหล่านี้ยังเป็น n ชิ้น

โปรดทราบว่ามุมที่พิจารณาประเภทแรกจะสร้างที่ขอบฐาน ส่วนประเภทที่สอง - ที่ขอบด้านข้าง

วิธีคำนวณมุมพีระมิด

มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลเป็นตัววัดหลัง การคำนวณไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากใบหน้าของปิรามิดไม่ตัดกันที่มุมฉากในกรณีทั่วไปไม่เหมือนกับใบหน้าของปริซึม การคำนวณค่าของมุมไดเฮดรัลโดยใช้สมการของระนาบในรูปแบบทั่วไปนั้นน่าเชื่อถือที่สุด

ในพื้นที่สามมิติ เครื่องบินถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

Ax + By + Cz + D=0

โดยที่ A, B, C, D เป็นจำนวนจริงบางตัว ความสะดวกของสมการนี้คือ ตัวเลขที่ทำเครื่องหมายสามตัวแรกคือพิกัดของเวกเตอร์ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เช่น

n¯=[A; ข; C]

หากทราบพิกัดของสามจุดที่เป็นของระนาบ จากนั้นนำผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวที่สร้างขึ้นบนจุดเหล่านี้ เราจะได้พิกัด n¯ เวกเตอร์ n¯ เรียกว่าไกด์สำหรับเครื่องบิน

ตามคำจำกัดความ มุมไดฮีดรัลที่เกิดจากจุดตัดของระนาบสองระนาบเท่ากับมุมเชิงเส้นระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของพวกมัน สมมติว่าเรามีระนาบสองระนาบที่มีเวกเตอร์ปกติเท่ากับ:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

ในการคำนวณมุม φ ระหว่างพวกมัน คุณสามารถใช้คุณสมบัติผลิตภัณฑ์สเกลาร์ จากนั้นสูตรที่เกี่ยวข้องจะกลายเป็น:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

หรือในรูปแบบพิกัด:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

มาดูวิธีการใช้วิธีการข้างต้นในการคำนวณมุมไดเฮดรัลเมื่อแก้ปัญหาเรขาคณิตกัน

มุมพีระมิดสี่เหลี่ยมธรรมดา

สมมติว่ามีพีระมิดธรรมดาที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านกว้าง 10 ซม. ความสูงของร่างคือ12 ซม. จำเป็นต้องคำนวณว่ามุมไดฮีดรัลอยู่ที่ฐานของปิรามิดและด้านข้างเท่าไหร่

เนื่องจากตัวเลขที่ระบุในสภาพปัญหาถูกต้อง กล่าวคือ มีความสมมาตรสูง มุมฐานทั้งหมดจึงเท่ากัน มุมที่เกิดจากใบหน้าด้านข้างก็เหมือนกัน ในการคำนวณมุมไดฮีดรัลที่ต้องการ เราจะหาเวกเตอร์ทิศทางสำหรับระนาบฐานและระนาบสองข้าง ระบุความยาวของด้านฐานด้วยตัวอักษร a และความสูง h.

รูปด้านบนเป็นปิรามิดทรงสี่เหลี่ยม ลองเขียนพิกัดของจุด A, B, C และ D ตามระบบพิกัดที่ป้อน:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

ตอนนี้เราพบเวกเตอร์ทิศทางสำหรับระนาบฐาน ABC และทั้งสองข้าง ABD และ BCD ตามวิธีการที่อธิบายไว้ในย่อหน้าด้านบน:

สำหรับ ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

สำหรับ ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

สำหรับ BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

ตอนนี้ยังคงใช้สูตรที่เหมาะสมสำหรับมุม φ และแทนที่ค่าด้านข้างและความสูงจากข้อความแจ้งปัญหา:

มุมระหว่าง ABC กับABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

มุมระหว่าง ABD กับ BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

เราคำนวณค่าของมุมที่ต้องการหาตามเงื่อนไขของปัญหา สูตรที่ได้จากการแก้ปัญหาสามารถใช้เพื่อกำหนดมุมไดฮีดรัลของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยค่า a และ h

มุมพีระมิดฐานสามเหลี่ยม

รูปด้านล่างแสดงปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ามุมไดฮีดรัลระหว่างด้านข้างนั้นถูกต้อง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ฐานถ้ารู้ว่าความสูงของร่างคือ 15 ซม.

มุม dihedral เท่ากับ 90^o แสดงเป็น ABC ในรูป คุณสามารถแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการข้างต้น แต่ในกรณีนี้ เราจะทำได้ง่ายขึ้น ให้แทนด้านของสามเหลี่ยม a, ความสูงของรูป - h, อะโพธีมา - h_b และด้านข้างซี่โครง - ข. ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรต่อไปนี้: