พหุนามหรือพหุนาม - หนึ่งในโครงสร้างพีชคณิตพื้นฐานที่พบในโรงเรียนและคณิตศาสตร์ชั้นสูง การศึกษาพหุนามเป็นหัวข้อที่สำคัญที่สุดในวิชาพีชคณิต เนื่องจากในอีกด้านหนึ่ง พหุนามนั้นค่อนข้างง่ายเมื่อเทียบกับฟังก์ชันประเภทอื่น และในทางกลับกัน พหุนามเหล่านี้ถูกใช้อย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. แล้วพหุนามคืออะไร
คำจำกัดความ
คำจำกัดความของคำว่าพหุนามสามารถกำหนดได้ผ่านแนวคิดของโมโนเมียลหรือโมโนเมียล
โมโนเมียลคือนิพจน์ของรูปแบบ cx1i1x2 i2 …x in. ที่นี่ с เป็นค่าคงที่ x1, x2, … x - ตัวแปร, i1, i2, … ใน - เลขชี้กำลังของตัวแปร จากนั้นพหุนามก็คือผลรวมของโมโนเมียลใดๆ
เพื่อทำความเข้าใจว่าพหุนามคืออะไร คุณสามารถดูตัวอย่างเฉพาะได้
รูปสามเหลี่ยมกำลังสองที่กล่าวถึงโดยละเอียดในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เป็นพหุนาม: ax2+bx+c.
พหุนามที่มีตัวแปรสองตัวอาจมีลักษณะดังนี้: x2-xy+y2 เช่นพหุนามเรียกอีกอย่างว่ากำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่าง x และ y
การจำแนกพหุนาม
พหุนามดีกรี
สำหรับโมโนเมียลแต่ละตัวในพหุนาม ให้หาผลรวมของเลขชี้กำลัง i1+i2+…+in ผลรวมที่ใหญ่ที่สุดเรียกว่าเลขชี้กำลังของพหุนาม และโมโนเมียลที่สอดคล้องกับผลรวมนี้เรียกว่าเทอมสูงสุด
อย่างไรก็ตาม ค่าคงที่ใดๆ สามารถถือเป็นพหุนามของดีกรีศูนย์ได้
พหุนามย่อและไม่ย่อ
ถ้าสัมประสิทธิ์ c เท่ากับ 1 สำหรับเทอมสูงสุด ก็จะให้พหุนาม ไม่เช่นนั้นก็จะไม่ใช่
ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x2+2x+1 เป็นพหุนามลดรูป และ 2x2+2x+1 ไม่ลดลง.
พหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
ถ้าดีกรีของสมาชิกทั้งหมดในพหุนามเท่ากัน เราก็บอกว่าพหุนามนั้นเป็นเนื้อเดียวกัน พหุนามอื่น ๆ ทั้งหมดถือว่าไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
พหุนามเอกพันธ์: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. ต่างกัน: x+1, x2+y.
มีชื่อพิเศษสำหรับพหุนามของสองและสามเทอม: ทวินามและไตรนามตามลำดับ
พหุนามของตัวแปรหนึ่งตัวถูกจัดหมวดหมู่แยกกัน
การประยุกต์ใช้พหุนามของตัวแปรเดียว
พหุนามของตัวแปรหนึ่งตัวประมาณฟังก์ชันต่อเนื่องดีของความซับซ้อนที่แตกต่างกันจากอาร์กิวเมนต์เดียว
ความจริงก็คือพหุนามดังกล่าวถือได้ว่าเป็นผลรวมบางส่วนของอนุกรมกำลัง และฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถแสดงเป็นอนุกรมที่มีข้อผิดพลาดเล็กน้อยตามอำเภอใจ อนุกรมขยายของฟังก์ชันเรียกว่า อนุกรมเทย์เลอร์ และผลรวมบางส่วนในรูปแบบของพหุนาม - พหุนามเทย์เลอร์
การศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันแบบกราฟิกโดยการประมาณค่าด้วยพหุนามบางตัวมักจะง่ายกว่าการตรวจสอบฟังก์ชันเดียวกันโดยตรงหรือใช้อนุกรม
การหาอนุพันธ์ของพหุนามเป็นเรื่องง่าย ในการหารากของพหุนามที่มีดีกรี 4 และต่ำกว่า มีสูตรสำเร็จรูป และสำหรับการทำงานกับดีกรีที่สูงกว่า จะใช้อัลกอริธึมโดยประมาณที่มีความแม่นยำสูง
นอกจากนี้ยังมีการวางนัยทั่วไปของพหุนามอธิบายสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว
ทวินามของนิวตัน
พหุนามที่มีชื่อเสียงคือพหุนามของนิวตัน มาจากนักวิทยาศาสตร์เพื่อหาสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ (x + y).
แค่ดูกำลังสองสามตัวแรกของการสลายตัวแบบทวินามก็เพียงพอแล้ว เพื่อให้แน่ใจว่าสูตรนั้นไม่สำคัญ:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
สำหรับแต่ละสัมประสิทธิ์จะมีนิพจน์ที่ให้คุณคำนวณได้ อย่างไรก็ตาม การท่องจำสูตรที่ยุ่งยากและดำเนินการคำนวณที่จำเป็นในแต่ละครั้งจะไม่สะดวกอย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ต้องการการขยายดังกล่าว สามเหลี่ยมของ Pascal ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นสำหรับพวกเขา
ฟิกเกอร์สร้างขึ้นตามหลักการดังต่อไปนี้ 1 ถูกเขียนไว้ที่ด้านบนของสามเหลี่ยม และในแต่ละบรรทัดถัดไป มันจะกลายเป็นตัวเลขอีกหนึ่งหลัก โดย 1 จะถูกใส่ที่ขอบ และตรงกลางของบรรทัดจะเต็มไปด้วยผลรวมของตัวเลขสองตัวที่อยู่ติดกันจากตัวเลขก่อนหน้า
ดูภาพประกอบทุกอย่างชัดเจน
แน่นอนว่าการใช้พหุนามในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ตัวอย่างที่ให้มาเท่านั้น ซึ่งเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันอย่างแพร่หลาย