ความสามารถในการคำนวณปริมาตรของตัวเลขเชิงพื้นที่มีความสำคัญในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่ง หนึ่งในรูปทรงที่พบบ่อยที่สุดคือปิรามิด ในบทความนี้เราจะพิจารณาสูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดทั้งแบบเต็มและแบบตัดทอน
พีระมิดเป็นรูปสามมิติ
ใครๆ ก็รู้เกี่ยวกับปิรามิดอียิปต์ เลยมีความคิดดีๆ ว่าจะพูดถึงตัวเลขอะไร อย่างไรก็ตาม โครงสร้างหินอียิปต์เป็นเพียงกรณีพิเศษของปิรามิดขนาดใหญ่
วัตถุเรขาคณิตที่พิจารณาในกรณีทั่วไปคือฐานหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดแต่ละจุดเชื่อมต่อกับบางจุดในอวกาศที่ไม่ได้อยู่ในระนาบฐาน คำจำกัดความนี้นำไปสู่รูปที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม n-gon และ n สามเหลี่ยม
ปิรามิดใดๆ ที่ประกอบด้วยหน้า n+1, ขอบ 2n และจุดยอด n+1 เนื่องจากตัวเลขที่พิจารณาเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ จำนวนองค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายไว้จึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของออยเลอร์:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
รูปหลายเหลี่ยมที่ฐานบอกชื่อปิรามิดเช่น สามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม เป็นต้น ชุดปิรามิดที่มีฐานต่างกันแสดงในรูปภาพด้านล่าง
จุดที่เชื่อมต่อรูปสามเหลี่ยม n รูปเรียกว่ายอดปิรามิด หากตั้งฉากจากมันไปที่ฐานและมันตัดมันในศูนย์เรขาคณิตแล้วร่างดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไข แสดงว่ามีปิรามิดเอียง
รูปตัวตรงที่มีฐานเป็นรูป n-gon ด้านเท่า (ด้านเท่ากันหมด) เรียกว่าปกติ
สูตรปริมาตรพีระมิด
ในการคำนวณปริมาตรของปิรามิด เราใช้แคลคูลัสอินทิกรัล ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งร่างด้วยระนาบซีแคนต์ขนานกับฐานเป็นชั้นบาง ๆ จำนวนอนันต์ รูปด้านล่างแสดงพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมที่มีความสูง h และด้านยาว L โดยชั้นบางๆ จะถูกทำเครื่องหมายด้วยรูปสี่เหลี่ยม
พื้นที่ของแต่ละชั้นดังกล่าวสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
ที่นี่ A0 คือพื้นที่ของฐาน z คือค่าของพิกัดแนวตั้ง จะเห็นได้ว่าถ้า z=0 แล้วสูตรจะให้ค่า A0.
ในการหาสูตรปริมาตรของปิรามิด คุณควรคำนวณอินทิกรัลของความสูงทั้งหมดของรูป นั่นคือ:
V=∫h0(A(z)dz).
แทนการพึ่งพา A(z) และคำนวณแอนติเดริเวทีฟ เรามาถึงนิพจน์:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
เราได้สูตรปริมาตรของปิรามิดแล้ว ในการหาค่า V ก็เพียงพอที่จะคูณความสูงของร่างด้วยพื้นที่ฐานแล้วหารผลลัพธ์ด้วยสาม
โปรดทราบว่านิพจน์ที่ได้นั้นใช้ได้กับการคำนวณปริมาตรของปิรามิดประเภทใดก็ได้ นั่นคือมันสามารถเอียงได้และฐานของมันสามารถเป็น n-gon โดยพลการ
ปิรามิดที่ถูกต้องและปริมาตร
สูตรทั่วไปสำหรับปริมาตรที่ได้รับในย่อหน้าด้านบนสามารถขัดเกลาได้ในกรณีของปิรามิดที่มีฐานที่ถูกต้อง พื้นที่ของฐานดังกล่าวคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
ที่นี่ L คือความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจุดยอด n จุด สัญลักษณ์ pi คือตัวเลข pi
แทนที่นิพจน์สำหรับ A0 ในสูตรทั่วไป เราได้ปริมาตรของปิรามิดปกติ:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
ตัวอย่างเช่น สำหรับปิรามิดสามเหลี่ยม สูตรนี้นำไปสู่นิพจน์ต่อไปนี้:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
สำหรับปิรามิดสี่เหลี่ยมธรรมดา สูตรปริมาตรจะกลายเป็น:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
การกำหนดปริมาตรของปิรามิดปกติต้องรู้ด้านฐานและความสูงของรูป
ปิรามิดที่ถูกตัดทอน
สมมุติว่าเราเอาพีระมิดตามอำเภอใจและตัดส่วนหนึ่งของพื้นผิวด้านข้างที่มียอด รูปที่เหลือเรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน ประกอบด้วยฐาน n-gonal สองอันและสี่เหลี่ยมคางหมู n อันที่เชื่อมต่อกัน หากระนาบการตัดขนานกับฐานของรูป ปิรามิดที่ถูกตัดปลายจะเกิดพร้อมกับฐานที่คล้ายกันขนานกัน นั่นคือ ความยาวของด้านหนึ่งหาได้จากการคูณความยาวของอีกด้านหนึ่งด้วยสัมประสิทธิ์ k
ภาพด้านบนแสดงพีระมิดหกเหลี่ยมปกติที่ถูกตัดทอน จะเห็นได้ว่าฐานบนเหมือนฐานล่าง เป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ
สูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้แคลคูลัสอินทิกรัลที่คล้ายกับที่ให้มา คือ:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
โดยที่ A0 และ A1 คือพื้นที่ของฐานล่าง (ใหญ่) และบน (เล็ก) ตามลำดับ ตัวแปร h คือความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ปริมาตรของปิรามิดแห่ง Cheops
การแก้ปัญหาการกำหนดปริมาตรที่มีปิรามิดอียิปต์ที่ใหญ่ที่สุดอยู่ภายในเป็นเรื่องที่น่าสนใจ
ในปี 1984 นักอียิปต์วิทยาชาวอังกฤษ Mark Lehner และ Jon Goodman ได้กำหนดขนาดที่แน่นอนของปิรามิด Cheops ความสูงเดิมคือ 146.50 เมตร (ปัจจุบันประมาณ 137 เมตร) ความยาวเฉลี่ยของทั้งสี่ด้านของโครงสร้างคือ 230.363 เมตรฐานของปิรามิดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความแม่นยำสูง
ใช้ตัวเลขที่กำหนดเพื่อกำหนดปริมาตรของหินยักษ์นี้ เนื่องจากปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติ ดังนั้นสูตรจึงใช้ได้กับมัน:
V4=1/3L2h.
เปลี่ยนตัวเลข เราได้:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
ปริมาตรของปิรามิด Cheops เกือบ 2.6 ล้าน m3 สำหรับการเปรียบเทียบ เราทราบว่าสระว่ายน้ำโอลิมปิกมีปริมาตร 2.5 พันเมตร3 นั่นคือเพื่อเติมเต็มปิรามิด Cheops ทั้งหมด ต้องใช้มากกว่า 1,000 พูลเหล่านี้!
