ทรงกระบอกเป็นหนึ่งในตัวเลขสามมิติอย่างง่ายที่ศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน (เรขาคณิตส่วนทึบ) ในกรณีนี้ ปัญหามักจะเกิดขึ้นในการคำนวณปริมาตรและมวลของทรงกระบอก ตลอดจนในการกำหนดพื้นที่ผิวของมัน คำตอบสำหรับคำถามที่ทำเครื่องหมายไว้มีอยู่ในบทความนี้
ทรงกระบอกคืออะไร
ก่อนตอบคำถาม มวลของทรงกระบอกและปริมาตรของทรงกระบอกคืออะไร ควรพิจารณาว่ารูปทรงเชิงพื้นที่นี้คืออะไร ควรสังเกตทันทีว่าทรงกระบอกเป็นวัตถุสามมิติ นั่นคือ ในอวกาศ คุณสามารถวัดพารามิเตอร์ได้สามตัวตามแต่ละแกนในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม อันที่จริง หากต้องการกำหนดขนาดของทรงกระบอกให้ชัดเจน ก็เพียงพอที่จะทราบพารามิเตอร์เพียงสองตัวเท่านั้น
ทรงกระบอกเป็นรูปสามมิติที่เกิดจากวงกลมสองวงและผิวทรงกระบอก เพื่อให้สื่อถึงวัตถุนี้ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้นำรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วเริ่มหมุนไปรอบๆ ด้านใดด้านหนึ่ง ซึ่งจะเป็นแกนของการหมุน ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมหมุนรอบตัวจะอธิบายรูปร่างการหมุน - กระบอก
พื้นผิวทรงกลมสองอันเรียกว่าฐานของกระบอกสูบซึ่งมีลักษณะเป็นรัศมี ระยะห่างระหว่างฐานเรียกว่าความสูง ฐานทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยพื้นผิวทรงกระบอก เส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองเรียกว่าแกนของทรงกระบอก
ปริมาตรและพื้นที่ผิว
ดังที่คุณเห็นจากด้านบน ทรงกระบอกถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์สองตัว: ความสูง h และรัศมีของฐาน r เมื่อทราบพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว คุณจะสามารถคำนวณลักษณะอื่นๆ ทั้งหมดของร่างกายที่พิจารณาได้ ด้านล่างนี้คือรายการหลัก:
- พื้นที่ฐาน. ค่านี้คำนวณโดยสูตร: S1=2pir2 โดยที่ pi คือ pi เท่ากับ 3, 14. หลักที่ 2 ในสูตรปรากฏขึ้นเพราะรูปทรงกระบอกมีฐานสองอันเหมือนกัน
- พื้นที่ผิวทรงกระบอก. สามารถคำนวณได้ดังนี้: S2=2pirh เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจสูตรนี้: หากพื้นผิวทรงกระบอกถูกตัดในแนวตั้งจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งและขยายออก จะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งความสูงจะเท่ากับความสูงของทรงกระบอกและความกว้างจะตรงกับ เส้นรอบวงฐานของรูปสามมิติ เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์เป็นผลคูณของด้าน ซึ่งเท่ากับ h และ 2pir จะได้สูตรข้างต้น
- พื้นที่ผิวกระบอกสูบ. เท่ากับผลรวมของพื้นที่ของ S1 และ S2 เราจะได้ S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- ปริมาณ. ค่านี้หาง่าย คุณแค่ต้องคูณพื้นที่ของฐานหนึ่งด้วยความสูงของรูป: V=(S1/2)h=pir 2 ชม.
การหามวลของทรงกระบอก
สุดท้ายก็ควรไปที่หัวข้อของบทความโดยตรง จะกำหนดมวลของทรงกระบอกได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้คุณต้องรู้ปริมาตรซึ่งเป็นสูตรการคำนวณที่แสดงไว้ด้านบน และความหนาแน่นของสารที่มันประกอบด้วย มวลถูกกำหนดโดยสูตรอย่างง่าย: m=ρV โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของวัสดุที่สร้างวัตถุที่เป็นปัญหา
แนวคิดเรื่องความหนาแน่นแสดงถึงมวลของสารที่อยู่ในปริมาตรหน่วยของพื้นที่ ตัวอย่างเช่น. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเหล็กมีความหนาแน่นสูงกว่าไม้ ซึ่งหมายความว่าในกรณีของปริมาณเหล็กและไม้ที่เท่ากัน อดีตจะมีมวลมากกว่าหลังมาก (ประมาณ 16 เท่า)
คำนวณมวลของทรงกระบอกทองแดง
พิจารณาปัญหาง่ายๆ จำเป็นต้องหามวลของทรงกระบอกที่ทำจากทองแดง เพื่อความชัดเจนให้กระบอกมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 ซม. สูง 10 ซม.
ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ปัญหา คุณควรจัดการกับข้อมูลต้นทาง รัศมีของทรงกระบอกเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งหมายความว่า r=20/2=10 ซม. ในขณะที่ความสูง h=10 ซม. เนื่องจากทรงกระบอกที่พิจารณาในปัญหานั้นทำมาจากทองแดงจึงหมายถึง ข้อมูลอ้างอิง เราเขียนค่าความหนาแน่นของวัสดุนี้: ρ=8, 96 g/cm3 (สำหรับอุณหภูมิ 20 °C)
ตอนนี้คุณสามารถเริ่มแก้ปัญหาได้แล้ว ขั้นแรก มาคำนวณปริมาตร: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. จากนั้นมวลของทรงกระบอกจะเป็น: m=ρV=8.963140=28134 กรัม หรือประมาณ 28 กิโลกรัม
คุณควรใส่ใจกับขนาดของหน่วยระหว่างการใช้งานในสูตรที่สอดคล้องกัน ดังนั้นในปัญหา พารามิเตอร์ทั้งหมดจะแสดงเป็นเซนติเมตรและกรัม
ทรงกระบอกที่เป็นเนื้อเดียวกันและกลวง
จากผลลัพธ์ข้างต้น จะเห็นได้ว่ากระบอกทองแดงที่มีขนาดค่อนข้างเล็ก (10 ซม.) มีมวลมาก (28 กก.) นี่เป็นเพราะไม่เพียง แต่ทำจากวัสดุที่มีน้ำหนักมาก แต่ยังรวมถึงความจริงที่ว่ามันเป็นเนื้อเดียวกัน ความจริงข้อนี้สำคัญที่ต้องเข้าใจ เนื่องจากสูตรข้างต้นสำหรับการคำนวณมวลสามารถใช้ได้เฉพาะเมื่อทรงกระบอก (ภายนอกและภายใน) ทำจากวัสดุชนิดเดียวกันทั้งหมดเท่านั้น
ในทางปฏิบัติ มักใช้กระบอกกลวง (เช่น ถังทรงกระบอกสำหรับใส่น้ำ) นั่นคือทำจากแผ่นบาง ๆ ของวัสดุ แต่ข้างในว่างเปล่า สำหรับทรงกระบอกกลวง สูตรที่ระบุในการคำนวณมวลใช้ไม่ได้
คำนวณมวลของทรงกระบอกกลวง
มันน่าสนใจที่จะคำนวณว่าถังทองแดงจะมีมวลเท่าใดถ้าข้างในว่างเปล่า เช่น ให้ทำด้วยแผ่นทองแดงบางๆ มีความหนาเพียง d=2 mm.
เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหาปริมาตรของทองแดงซึ่งตัววัตถุนั้นถูกสร้างขึ้นมา ไม่ใช่ปริมาตรของกระบอกสูบ เพราะความหนาแผ่นมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับขนาดของทรงกระบอก (d=2 มม. และ r=10 ซม.) จากนั้นปริมาตรของทองแดงที่วัตถุทำขึ้นสามารถพบได้โดยการคูณพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกด้วย ความหนาของแผ่นทองแดง จะได้ V=dS 3=d2pir(r+h). แทนที่ข้อมูลจากปัญหาก่อนหน้า เราได้: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3 มวลของทรงกระบอกกลวงสามารถรับได้โดยการคูณปริมาตรทองแดงที่ได้รับซึ่งจำเป็นสำหรับการผลิตด้วยความหนาแน่นของทองแดง: m \u003d 251.28.96 \u003d 2251 g หรือ 2.3 กก. นั่นคือทรงกระบอกกลวงที่พิจารณาแล้วมีน้ำหนัก 12 (28, 1/2, 3) น้อยกว่าที่เป็นเนื้อเดียวกัน 12 เท่า