สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน (สามมุม) ส่วนใหญ่แล้วด้านข้างจะแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็กซึ่งสอดคล้องกับตัวพิมพ์ใหญ่ที่แสดงถึงจุดยอดตรงข้าม ในบทความนี้ เราจะมาทำความรู้จักกับประเภทของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่กำหนดว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเป็นเท่าใด
ดูทีละมุม
แยกประเภทรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุดต่อไปนี้:
- มุมแหลมคมทุกมุม
- สี่เหลี่ยมมีมุมฉากด้านหนึ่งเรียกว่าขา ส่วนด้านที่วางตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก
- มุมป้านมุมหนึ่ง;
- หน้าจั่วซึ่งสองด้านเท่ากันและเรียกว่าด้านข้างและที่สามคือฐานของรูปสามเหลี่ยม
- ด้านเท่ากันหมดทั้งสามด้าน
คุณสมบัติ
เน้นคุณสมบัติหลักที่เป็นลักษณะของสามเหลี่ยมแต่ละประเภท:
- ตรงข้ามด้านใหญ่ย่อมมีมุมที่ใหญ่กว่าเสมอ และในทางกลับกัน
- ด้านตรงข้ามที่มีขนาดเท่ากันคือมุมเท่ากัน และในทางกลับกัน
- สามเหลี่ยมใดๆ ที่มีมุมแหลมสองมุม;
- มุมด้านนอกใหญ่กว่ามุมด้านในที่ไม่ได้อยู่ติดกัน
- ผลรวมของสองมุมใด ๆ น้อยกว่า 180 องศาเสมอ
- มุมด้านนอกเท่ากับผลรวมของอีกสองมุมที่ไม่ตัดกัน
ผลรวมสามเหลี่ยมของทฤษฎีบทมุม
ทฤษฎีบทนี้ระบุว่าถ้าคุณบวกมุมทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ซึ่งอยู่บนระนาบแบบยุคลิด ผลรวมของพวกมันจะเท่ากับ 180 องศา มาลองพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน
มาสร้างสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดของ KMN กัน
ผ่านจุดยอด M ลากเส้นตรงขนานกับเส้นตรง KN (เส้นนี้เรียกอีกอย่างว่าเส้นตรงแบบยุคลิด) เราทำเครื่องหมายจุด A บนจุดนั้นในลักษณะที่จุด K และ A อยู่บนด้านต่างๆ ของเส้นตรง MN เราได้มุมเท่ากัน AMN และ KNM ซึ่งเหมือนกับมุมภายใน อยู่ในแนวขวางและเกิดขึ้นจากเซแคนต์ MN ร่วมกับเส้นตรง KN และ MA ซึ่งขนานกัน จากนี้ไป ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงจุดยอด M และ H เท่ากับขนาดของมุม KMA มุมทั้งสามประกอบกันเป็นผลรวม ซึ่งเท่ากับผลรวมของมุม KMA และ MKN เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นภายในด้านเดียวเมื่อเทียบกับเส้นตรงขนาน KN และ MA ที่มีเซแคนต์ KM ผลรวมของมันคือ 180 องศา ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว
ผลที่ตามมา
ผลสืบเนื่องต่อไปนี้จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์ข้างต้น: สามเหลี่ยมใดๆ มีมุมแหลมสองมุม เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้เราถือว่ารูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดมีมุมแหลมเพียงมุมเดียว นอกจากนี้ยังสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีมุมใดที่แหลมคม ในกรณีนี้ ต้องมีอย่างน้อยสองมุมที่เท่ากับหรือมากกว่า 90 องศา แต่ผลรวมของมุมจะมากกว่า 180 องศา แต่สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ เพราะตามทฤษฎีแล้ว ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 ° - ไม่มากและไม่น้อย นี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์
มุมภายนอก
ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่อยู่ภายนอกเป็นเท่าใด คำถามนี้สามารถตอบได้สองวิธี อย่างแรกคือ จำเป็นต้องหาผลรวมของมุม ซึ่งหาได้จากจุดยอดแต่ละจุด นั่นคือ มุมสามมุม ข้อที่สองบ่งบอกว่าคุณต้องหาผลรวมของมุมทั้งหกที่จุดยอด ขั้นแรก มาจัดการกับตัวเลือกแรกกัน ดังนั้น สามเหลี่ยมจึงมีมุมภายนอกหกมุม - สองมุมที่แต่ละจุดยอด
แต่ละคู่มีมุมเท่ากันเพราะเป็นแนวตั้ง:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
นอกจากนี้ เป็นที่ทราบกันว่ามุมภายนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในสองมุมที่ไม่ตัดกัน ดังนั้น
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
จากนี้ไปผลรวมของภายนอกมุมซึ่งถูกถ่ายที่จุดยอดแต่ละอันจะเท่ากับ:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
ผลรวมของมุมคือ 180 องศา จึงจะเถียงได้ว่า ∟A + ∟B + ∟C=180° และนี่หมายความว่า ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360° หากใช้ตัวเลือกที่สอง ผลรวมของมุมทั้งหกจะมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าตามลำดับ นั่นคือ ผลรวมของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมจะเป็น:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°
สามเหลี่ยมขวา
ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออะไร? คำตอบสำหรับคำถามนี้ เป็นอีกครั้งที่มาจากทฤษฎีบท ซึ่งระบุว่ามุมในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา และข้อความ (คุณสมบัติ) ของเราก็ประมาณนี้: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมแหลมรวมกันได้ 90 องศา มาพิสูจน์ความจริงกัน
ให้เราได้สามเหลี่ยม KMN โดยที่ ∟Н=90° จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∟K + ∟M=90°
ดังนั้น ตามทฤษฎีบทผลรวมมุม ∟К + ∟М + ∟Н=180° เงื่อนไขของเราบอกว่า ∟Н=90° ปรากฎว่า ∟K + ∟M + 90°=180° นั่นคือ ∟K + ∟M=180° - 90°=90° นั่นคือสิ่งที่เราต้องพิสูจน์
นอกเหนือจากคุณสมบัติข้างต้นของสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว คุณสามารถเพิ่มสิ่งต่อไปนี้:
- มุมที่แนบกับขานั้นคม
- ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมมากกว่าขาใดๆ
- ผลรวมของขามากกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก
- ขาสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุม 30 องศาเป็นครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากนั่นคือเท่ากับครึ่งหนึ่งของมัน
เป็นสมบัติอื่นของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถแยกแยะได้ เธอกล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 90 องศา (สี่เหลี่ยม) ผลรวมของกำลังสองของขาทั้งสองจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก
ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ก่อนหน้านี้เราบอกว่าหน้าจั่วเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุดซึ่งมีสองด้านเท่ากัน คุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดนี้เป็นที่รู้จัก: มุมที่ฐานเท่ากัน มาพิสูจน์กัน
ใช้สามเหลี่ยม KMN ซึ่งเป็นหน้าจั่ว KN เป็นฐาน
เราต้องพิสูจน์ว่า ∟К=∟Н สมมุติว่า MA เป็นตัวแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม KMN สามเหลี่ยม MCA โดยคำนึงถึงเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกัน เท่ากับสามเหลี่ยม MCA กล่าวคือ ตามเงื่อนไขที่กำหนด KM=NM MA เป็นด้านร่วม ∟1=∟2 เนื่องจาก MA เป็นตัวแบ่งครึ่ง จากข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมสองรูปนี้เท่ากัน เราสามารถระบุได้ว่า ∟K=∟Н ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
แต่เราสนใจว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม (หน้าจั่ว) คืออะไร เนื่องจากในแง่นี้ มันไม่มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง เราจะเริ่มจากทฤษฎีบทที่พิจารณาก่อนหน้านี้ นั่นคือ เราสามารถพูดได้ว่า ∟K + ∟M + ∟H=180° หรือ 2 x ∟K + ∟M=180° (ตั้งแต่ ∟K=∟H) เราจะไม่พิสูจน์คุณสมบัตินี้ เนื่องจากทฤษฎีบทผลรวมสามเหลี่ยมนั้นได้รับการพิสูจน์ก่อนหน้านี้
ยกเว้นตามที่กล่าวไว้คุณสมบัติเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยม นอกจากนี้ยังมีข้อความสำคัญเช่น:
- ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความสูงที่ลดลงถึงฐานเป็นทั้งค่ามัธยฐาน แบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ระหว่างด้านเท่ากัน เช่นเดียวกับแกนสมมาตรของฐาน
- มัธยฐาน (ส่วนครึ่ง, ส่วนสูง) ที่ลากไปด้านข้างของรูปทรงเรขาคณิตนั้นเท่ากัน
สามเหลี่ยมด้านเท่า
เรียกอีกอย่างว่าขวา มันคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน ดังนั้นมุมจึงเท่ากัน แต่ละอันคือ 60 องศา มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน
สมมติว่าเรามีสามเหลี่ยม KMN. เรารู้ว่า KM=NM=KN และนี่หมายความว่าตามคุณสมบัติของมุมที่ฐานอยู่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ∟К=∟М=∟Н เนื่องจากตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ ∟К + ∟М + ∟Н=180° จากนั้น 3 x ∟К=180° หรือ ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ น=60° ดังนั้น คำกล่าวนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
ดังที่คุณเห็นจากการพิสูจน์ข้างต้นตามทฤษฎีบท ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่า เช่น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมอื่นๆ คือ 180 องศา ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อีก
นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติดังกล่าวของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า:
- มัธยฐาน, แบ่งครึ่ง, ความสูงในรูปทรงเรขาคณิตเหมือนกันและคำนวณความยาวเป็น (a x √3): 2;
- ถ้าคุณอธิบายวงกลมรอบรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด รัศมีของมันจะเป็นเท่ากับ (a x √3): 3;
- ถ้าคุณใส่วงกลมลงในสามเหลี่ยมด้านเท่า รัศมีของมันจะเป็น (a x √3): 6;
- พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตนี้คำนวณโดยสูตร: (a2 x √3): 4.
สามเหลี่ยมมุมฉาก
ตามคำจำกัดความของสามเหลี่ยมป้าน หนึ่งในมุมของมันอยู่ระหว่าง 90 ถึง 180 องศา แต่เนื่องจากอีกสองมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้เป็นมุมแหลม เราสามารถสรุปได้ว่าไม่ควรเกิน 90 องศา ดังนั้น ผลรวมสามเหลี่ยมของทฤษฎีบทมุมจึงทำงานเมื่อคำนวณผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมป้าน ปรากฎว่าเราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยตามทฤษฎีบทดังกล่าวว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมป้านเป็น 180 องศา อีกครั้ง ทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ซ้ำ