ความสัมพันธ์ที่หลากหลายในตัวอย่างของเซตนั้นมาพร้อมกับแนวคิดจำนวนมาก เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความและจบลงด้วยการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ของความขัดแย้ง ความหลากหลายของแนวคิดที่กล่าวถึงในบทความในชุดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด แม้ว่าเมื่อพูดถึงประเภทคู่ จะหมายถึงความสัมพันธ์แบบไบนารีระหว่างค่าต่างๆ และระหว่างวัตถุหรือคำสั่ง
ตามกฎ ความสัมพันธ์แบบไบนารีจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ R นั่นคือถ้า xRx สำหรับค่าใด ๆ x จากฟิลด์ R คุณสมบัติดังกล่าวเรียกว่าการสะท้อนกลับ ซึ่ง x และ x เป็นวัตถุแห่งความคิดที่ยอมรับได้ และ R ทำหน้าที่เป็นสัญญาณว่าหรือรูปแบบอื่น ๆ ของความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ในเวลาเดียวกัน หากคุณแสดง xRy® หรือ yRx แสดงว่ามีสภาวะสมมาตร โดยที่ ® เป็นสัญญาณที่คล้ายกับสหภาพ "ถ้า … แล้ว … " และสุดท้าย การถอดรหัสของ จารึก (xRy Ùy Rz) ®xRz บอกเกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงสกรรมกริยา และเครื่องหมาย Ù เป็นคำสันธาน
ความสัมพันธ์แบบไบนารีที่มีทั้งการสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยาเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชัน และความเท่าเทียมกัน y=z ต่อจาก Î f และ Î f สามารถใช้ฟังก์ชันไบนารีอย่างง่ายได้อาร์กิวเมนต์ง่ายๆ สองข้อในลำดับที่แน่นอน และในกรณีนี้เท่านั้นที่ให้ความหมายที่มุ่งไปยังนิพจน์ทั้งสองนี้ในกรณีเฉพาะ
มันควรจะพูดว่า f แผนที่ x ถึง y
ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีช่วง x และช่วง y อย่างไรก็ตาม เมื่อ f ประมาณค่า x ถึง y และ y Í z จะทำให้ f แสดงค่า x ใน z ตัวอย่างง่ายๆ: ถ้า f(x)=2x เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม x ใดๆ ดังนั้น f จะถูกกล่าวว่าจับคู่ชุดที่ลงนามของจำนวนเต็มที่รู้จักทั้งหมดกับเซตของจำนวนเต็มเดียวกัน แต่คราวนี้เป็นตัวเลขคู่ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ความสัมพันธ์แบบไบนารีที่มีทั้งการสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยาเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
จากด้านบน ความสัมพันธ์ที่สมมูลของความสัมพันธ์แบบไบนารีถูกกำหนดโดยคุณสมบัติ:
- การสะท้อนกลับ - อัตราส่วน (M ~ N);
- สมมาตร - ถ้าเท่ากันคือ M ~ N ก็จะมี N ~ M;
- transitivity - ถ้าสองความเท่าเทียมกัน M ~ N และ N ~ P ดังนั้น M ~ P.
ลองพิจารณาคุณสมบัติประกาศของความสัมพันธ์แบบไบนารีในรายละเอียดเพิ่มเติม การสะท้อนกลับเป็นหนึ่งในลักษณะของการเชื่อมต่อบางอย่าง โดยที่แต่ละองค์ประกอบของเซตภายใต้การศึกษามีความเท่าเทียมกันในตัวเอง ตัวอย่างเช่น ระหว่างตัวเลข a=c และ a³ c มีการเชื่อมต่อแบบสะท้อนกลับ เนื่องจาก a=a, c=c, a³ a, c³ c เสมอ ในเวลาเดียวกัน ความสัมพันธ์ของอสมการ a>c นั้นต้านการสะท้อนกลับ เนื่องจากความเป็นไปไม่ได้ของการมีอยู่ของอสมการ a>a สัจพจน์ของคุณสมบัตินี้เข้ารหัสโดยสัญญาณ: aRc®aRa Ù cRc ในที่นี้สัญลักษณ์ ® หมายถึงคำว่า "เกี่ยวข้อง" (หรือ "เกี่ยวข้อง") และเครื่องหมาย Ù - คือสหภาพ "และ" (หรือคำสันธาน) จากคำกล่าวนี้หากการตัดสิน aRc เป็นจริง นิพจน์ aRa และ cRc ก็เป็นจริงเช่นกัน
สมมาตรทำให้เกิดความสัมพันธ์แม้ว่าวัตถุทางจิตจะถูกสับเปลี่ยน นั่นคือ ด้วยความสัมพันธ์ที่สมมาตร การจัดเรียงวัตถุใหม่ไม่ได้นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงประเภท "ความสัมพันธ์แบบไบนารี" ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกัน a=c มีความสมมาตรเนื่องจากความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ c=a; ข้อเสนอ a¹c ก็เหมือนกัน เพราะมันสอดคล้องกับการเชื่อมต่อกับ¹a.
ชุดสกรรมกริยาเป็นคุณสมบัติที่ตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้: y н x, z н y ® z н x โดยที่ ® เป็นเครื่องหมายแทนที่คำว่า: "ถ้า … แล้ว …" สูตรนี้อ่านด้วยวาจาดังนี้: "ถ้า y ขึ้นอยู่กับ x, z เป็นของ y แล้ว z ก็ขึ้นอยู่กับ x ด้วย"