ปัญหาที่แก้ไม่ได้คือ 7 ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจที่สุด แต่ละคนได้รับการเสนอในคราวเดียวโดยนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในรูปแบบของสมมติฐาน เป็นเวลาหลายทศวรรษที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกใช้สมองกับการแก้ปัญหา ผู้ที่ประสบความสำเร็จจะได้รับรางวัลเป็นล้านเหรียญสหรัฐจาก Clay Institute
เบื้องหลัง
ในปี 1900 David Hilbert นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ได้นำเสนอรายการปัญหา 23 ข้อ
การวิจัยเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ส่งผลกระทบอย่างใหญ่หลวงต่อวิทยาศาสตร์ของศตวรรษที่ 20 ในขณะนี้ ส่วนใหญ่ได้หยุดความลึกลับแล้ว ท่ามกลางปัญหาที่ไม่ได้รับการแก้ไขหรือแก้ไขบางส่วน ได้แก่
- ปัญหาความสม่ำเสมอของสัจพจน์เลขคณิต
- กฎทั่วไปของการแลกเปลี่ยนกันบนช่องว่างของช่องตัวเลขใดๆ
- การศึกษาคณิตศาสตร์ของสัจพจน์ทางกายภาพ
- การศึกษารูปแบบกำลังสองสำหรับตัวเลขพีชคณิตตามอำเภอใจอัตราต่อรอง;
- ปัญหาของการให้เหตุผลอย่างเข้มงวดของเรขาคณิตเชิงคำนวณของฟีโอดอร์ ชูเบิร์ต;
- etc.
ยังไม่ได้สำรวจคือ: ปัญหาในการขยายทฤษฎีบทโครเนคเกอร์ที่เป็นที่รู้จักไปยังพื้นที่เกี่ยวกับเหตุผลเชิงพีชคณิตและสมมติฐานของรีมันน์
สถาบันเคลย์
นี่คือชื่อขององค์กรเอกชนที่ไม่แสวงหาผลกำไรซึ่งมีสำนักงานใหญ่ในเมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ ก่อตั้งขึ้นในปี 2541 โดยนักคณิตศาสตร์ฮาร์วาร์ด เอ. เจฟฟีย์ และนักธุรกิจแอล. เคลย์ จุดมุ่งหมายของสถาบันคือการเผยแพร่และพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้บรรลุสิ่งนี้ องค์กรได้มอบรางวัลให้กับนักวิทยาศาสตร์และผู้สนับสนุนการวิจัยที่มีแนวโน้มว่าจะเป็นเช่นนั้น
ในช่วงต้นศตวรรษที่ 21 สถาบัน Clay Institute of Mathematics ได้เสนอรางวัลให้กับผู้ที่แก้ปัญหาที่เรียกว่าปัญหาที่ยากที่สุดที่แก้ไม่ได้ โดยเรียกรายการปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ มีเพียงสมมติฐานรีมันน์เท่านั้นที่รวมอยู่ในรายการฮิลแบร์ต
ความท้าทายแห่งสหัสวรรษ
เดิมรวมรายชื่อสถาบันเคลย์:
- สมมติฐานวงจรฮ็อดจ์
- สมการทฤษฎีควอนตัมหยางมิลส์
- สมมุติฐาน Poincaré
- ปัญหาความเท่าเทียมกันของคลาส P และ NP;
- สมมติฐานของรีมันน์;
- สมการเนเวียร์-สโตกส์ เกี่ยวกับการมีอยู่และความราบรื่นของคำตอบ
- ปัญหาเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์
ปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบเปิดเหล่านี้เป็นที่น่าสนใจอย่างยิ่ง เนื่องจากสามารถนำไปใช้ได้จริงมากมาย
Grigory Perelman พิสูจน์อะไร
ในปี 1900 นักปรัชญาชื่อดังอย่าง Henri Poincaré ได้แนะนำว่าท่อร่วม 3-manifold ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายๆ โดยไม่มีขอบเขต จะเป็นแบบโฮมีมอร์มอร์ฟกับทรงกลมสามมิติ ไม่พบหลักฐานในกรณีทั่วไปเป็นเวลาหนึ่งศตวรรษ เฉพาะในปี 2545-2546 นักคณิตศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก G. Perelman ได้ตีพิมพ์บทความจำนวนหนึ่งพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาPoincaré พวกเขาได้รับผลกระทบจากระเบิด ในปี 2010 สมมติฐานของ Poincaré ถูกแยกออกจากรายการ "Unsolved Problems" ของ Clay Institute และ Perelman เองก็ได้รับการเสนอให้รับค่าตอบแทนจำนวนมากจากตัวเขา ซึ่งฝ่ายหลังปฏิเสธโดยไม่ได้อธิบายเหตุผลในการตัดสินใจของเขา
คำอธิบายที่เข้าใจได้มากที่สุดเกี่ยวกับสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียสามารถพิสูจน์ได้นั้นสามารถอธิบายได้โดยจินตนาการว่าแผ่นยางถูกดึงไปบนโดนัท (ทอรัส) จากนั้นพวกเขาจึงพยายามดึงขอบของวงกลมให้เป็นจุดเดียว เห็นได้ชัดว่าเป็นไปไม่ได้ อีกอย่าง ถ้าคุณทำการทดลองนี้กับลูกบอล ในกรณีนี้ ทรงกลมที่ดูเหมือนสามมิติ ซึ่งเป็นผลมาจากดิสก์ที่เส้นรอบวงถูกดึงไปยังจุดหนึ่งด้วยเชือกสมมุติฐาน จะเป็นสามมิติในความเข้าใจของคนธรรมดา แต่เป็นสองมิติในแง่ของคณิตศาสตร์
Poincare แนะนำว่าทรงกลมสามมิติเป็น "วัตถุ" สามมิติเพียงชิ้นเดียวที่พื้นผิวสามารถหดตัวได้จนถึงจุดเดียว และ Perelman พยายามพิสูจน์มัน ดังนั้น รายการ "ปัญหาที่แก้ไม่ได้" วันนี้จึงประกอบด้วย 6 ปัญหา
ทฤษฎีหยางมิลส์
ปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้ถูกเสนอโดยผู้เขียนในปี 1954 สูตรทางวิทยาศาสตร์ของทฤษฎีมีดังนี้:สำหรับกลุ่มเกจขนาดกะทัดรัดธรรมดาใดๆ ทฤษฎีอวกาศควอนตัมที่สร้างขึ้นโดย Yang และ Mills นั้นมีอยู่จริง และในขณะเดียวกันก็ไม่มีข้อบกพร่องด้านมวลรวมเลย
การพูดในภาษาที่คนธรรมดาเข้าใจได้ ปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุธรรมชาติ (อนุภาค ร่างกาย คลื่น ฯลฯ) แบ่งออกเป็น 4 ประเภท ได้แก่ แม่เหล็กไฟฟ้า ความโน้มถ่วง อ่อนแรง และแรง เป็นเวลาหลายปีที่นักฟิสิกส์พยายามสร้างทฤษฎีสนามทั่วไป ควรเป็นเครื่องมือในการอธิบายการโต้ตอบทั้งหมดเหล่านี้ ทฤษฎี Yang-Mills เป็นภาษาทางคณิตศาสตร์ที่สามารถอธิบายพลังหลักของธรรมชาติ 3 ใน 4 ได้ ใช้ไม่ได้กับแรงโน้มถ่วง ดังนั้นจึงไม่สามารถถือได้ว่า Yang and Mills ประสบความสำเร็จในการสร้างทฤษฎีภาคสนาม
นอกจากนี้ ความไม่เป็นเชิงเส้นของสมการที่เสนอทำให้แก้ได้ยากมาก สำหรับค่าคงที่คัปปลิ้งขนาดเล็ก พวกมันสามารถแก้ไขได้ในรูปของทฤษฎีการรบกวนหลายชุด อย่างไรก็ตาม ยังไม่ชัดเจนว่าสมการเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ด้วยการคัปปลิ้งที่แข็งแกร่งอย่างไร
สมการเนเวียร์-สโตกส์
นิพจน์เหล่านี้อธิบายกระบวนการต่างๆ เช่น กระแสอากาศ การไหลของของไหล และความปั่นป่วน สำหรับกรณีพิเศษบางกรณี เราพบคำตอบเชิงวิเคราะห์ของสมการเนเวียร์-สโตกส์แล้ว แต่จนถึงขณะนี้ยังไม่มีใครประสบความสำเร็จในการทำเช่นนี้สำหรับสมการทั่วไป ในเวลาเดียวกัน การจำลองเชิงตัวเลขสำหรับค่าเฉพาะของความเร็ว ความหนาแน่น ความดัน เวลา และอื่นๆ สามารถบรรลุผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมได้ ยังคงหวังว่าจะมีใครบางคนสามารถใช้สมการของเนเวียร์ - สโตกส์ในแบบย้อนกลับได้ทิศทาง กล่าวคือ คำนวณพารามิเตอร์โดยใช้พวกมัน หรือพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ไข
ปัญหาเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเออร์
หมวดหมู่ของ "ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข" ยังรวมถึงสมมติฐานที่เสนอโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ แม้กระทั่ง 2300 ปีที่แล้ว Euclid นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้ให้คำอธิบายที่สมบูรณ์เกี่ยวกับการแก้สมการ x2 + y2=z2
ถ้านับจำนวนเฉพาะแต่ละจำนวน เรานับจำนวนจุดบนโมดูโลของเส้นโค้ง เราจะได้ชุดจำนวนเต็มอนันต์ หากคุณ "รวม" ให้เป็น 1 ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน คุณจะได้ฟังก์ชัน Hasse-Weil zeta สำหรับเส้นโค้งอันดับสาม ซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษร L ซึ่งมีข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมโมดูโลจำนวนเฉพาะทั้งหมดพร้อมกัน
Brian Birch และ Peter Swinnerton-Dyer คาดเดาเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรี ตามโครงสร้างและจำนวนของชุดของคำตอบที่มีเหตุผลนั้นสัมพันธ์กับพฤติกรรมของฟังก์ชัน L ที่ข้อมูลประจำตัว การคาดเดาของ Birch-Swinnerton-Dyer ที่ไม่ได้รับการพิสูจน์ในปัจจุบันนั้นขึ้นอยู่กับคำอธิบายของสมการพีชคณิตระดับ 3 และเป็นวิธีทั่วไปที่ค่อนข้างง่ายในการคำนวณอันดับของเส้นโค้งวงรี
เพื่อให้เข้าใจถึงความสำคัญในทางปฏิบัติของงานนี้ ก็เพียงพอที่จะกล่าวได้ว่าในวิทยาการเข้ารหัสลับสมัยใหม่ ระบบอสมมาตรทั้งคลาสนั้นใช้เส้นโค้งวงรี และมาตรฐานลายเซ็นดิจิทัลในประเทศจะขึ้นอยู่กับการใช้งาน
ความเท่าเทียมกันของชั้นเรียน p และ np
หากภารกิจ Millennium Challenges ที่เหลือเป็นโจทย์คณิตศาสตร์ล้วนๆ เกมนี้ก็มีสัมพันธ์กับทฤษฎีอัลกอริธึมที่แท้จริง ปัญหาเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของคลาส p และ np หรือที่เรียกว่าปัญหา Cooke-Levin สามารถกำหนดได้ในภาษาที่เข้าใจได้ดังนี้ สมมติว่าคำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามบางข้อสามารถตรวจสอบได้เร็วพอ เช่น ในเวลาพหุนาม (PT) แล้วคำกล่าวนั้นถูกต้องหรือไม่ที่หาคำตอบได้ค่อนข้างเร็ว? ปัญหานี้ฟังดูเหมือนง่ายกว่า: การตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหานั้นไม่ยากกว่าการค้นหาจริงหรือ หากมีการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของคลาส p และ np ปัญหาการเลือกทั้งหมดสามารถแก้ไขได้สำหรับ PV ในขณะนี้ ผู้เชี่ยวชาญหลายคนยังสงสัยในความจริงของคำกล่าวนี้ แม้ว่าพวกเขาจะไม่สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้
สมมติฐานของรีมันน์
จนถึงปี พ.ศ. 2402 ไม่พบรูปแบบใดที่จะอธิบายว่าจำนวนเฉพาะถูกแจกแจงระหว่างจำนวนธรรมชาติอย่างไร บางทีนี่อาจเป็นเพราะวิทยาศาสตร์จัดการกับปัญหาอื่น อย่างไรก็ตาม ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 สถานการณ์เปลี่ยนไป และพวกเขากลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่เกี่ยวข้องมากที่สุดที่คณิตศาสตร์เริ่มรับมือ
สมมติฐานของรีมันน์ซึ่งปรากฏในช่วงเวลานี้เป็นข้อสันนิษฐานว่ามีรูปแบบบางอย่างในการกระจายของจำนวนเฉพาะ
วันนี้ นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่หลายคนเชื่อว่าหากได้รับการพิสูจน์แล้ว ก็จำเป็นต้องแก้ไขหลักการพื้นฐานหลายประการของการเข้ารหัสสมัยใหม่ ซึ่งเป็นพื้นฐานของกลไกสำคัญของการค้าอิเล็กทรอนิกส์
ตามสมมติฐานของรีมันน์ ตัวละครการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะอาจแตกต่างอย่างมากจากที่คาดการณ์ไว้ในปัจจุบัน ความจริงก็คือจนถึงขณะนี้ยังไม่มีการค้นพบระบบในการแจกแจงจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น มีปัญหาของ "ฝาแฝด" ซึ่งมีความแตกต่างระหว่าง 2 ซึ่งคือ 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 11 และ 13, 29 จำนวนเฉพาะอื่นๆ ก่อตัวเป็นคลัสเตอร์ เหล่านี้คือ 101, 103, 107 เป็นต้น นักวิทยาศาสตร์สงสัยมานานแล้วว่ากระจุกดังกล่าวมีอยู่ในจำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่มาก หากพบแล้ว ความแข็งแกร่งของรหัสลับที่ทันสมัยก็จะเป็นปัญหา
สมมติฐานวงจรฮ็อดจ์
ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขนี้ถูกกำหนดขึ้นในปี พ.ศ. 2484 สมมติฐานของฮอดจ์ชี้ให้เห็นถึงความเป็นไปได้ในการประมาณรูปร่างของวัตถุใดๆ โดยการ "ติดกาว" วัตถุธรรมดาที่มีมิติสูงกว่าเข้าด้วยกัน วิธีนี้เป็นที่รู้จักและประสบความสำเร็จมาอย่างยาวนาน อย่างไรก็ตาม ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าสามารถทำให้เข้าใจง่ายเพียงใด
ตอนนี้คุณก็รู้แล้วว่าปัญหาที่แก้ไม่ได้ในตอนนี้คืออะไร เป็นหัวข้อของการวิจัยโดยนักวิทยาศาสตร์หลายพันคนทั่วโลก ยังคงหวังว่าพวกเขาจะได้รับการแก้ไขในอนาคตอันใกล้ และการใช้งานจริงของพวกเขาจะช่วยให้มนุษยชาติเข้าสู่การพัฒนาเทคโนโลยีรอบใหม่