ปัญหาทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในหลายศาสตร์ ซึ่งรวมถึงฟิสิกส์ เคมี วิศวกรรมศาสตร์และเศรษฐศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการแพทย์ นิเวศวิทยา และสาขาวิชาอื่นๆ ด้วย แนวคิดสำคัญประการหนึ่งที่ต้องเชี่ยวชาญในการหาทางแก้ไขภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่สำคัญคืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางกายภาพของมันไม่ได้อธิบายยากเท่าที่ควร เนื่องจากอาจดูเหมือนคนที่ไม่ได้ฝึกหัดในแก่นแท้ของปัญหา เพียงแค่ค้นหาตัวอย่างที่เหมาะสมของสิ่งนี้ในชีวิตจริงและสถานการณ์ในชีวิตประจำวันทั่วไปก็เพียงพอแล้ว อันที่จริง ผู้ขับขี่รถยนต์คนใดต้องเผชิญกับงานที่คล้ายกันทุกวันเมื่อเขาดูที่มาตรวัดความเร็ว โดยกำหนดความเร็วของรถของเขาในช่วงเวลาที่กำหนด ท้ายที่สุด สาระสำคัญของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์อยู่ในพารามิเตอร์นี้
วิธีหาความเร็ว
กำหนดความเร็วของคนบนท้องถนน รู้ระยะทางที่เดินทางและเวลาเดินทาง นักเรียนชั้นป.5 คนไหนๆ ก็สามารถทำได้ง่ายๆ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ค่าแรกจากค่าที่กำหนดจะถูกหารด้วยค่าที่สอง แต่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ทุกคนที่รู้ว่าขณะนี้เขากำลังค้นหาอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันและการโต้แย้ง อันที่จริง หากเราจินตนาการถึงการเคลื่อนไหวในรูปของกราฟ การพล็อตเส้นทางตามแนวแกน y และเวลาตาม abscissa มันจะเป็นแบบนี้ทุกประการ
อย่างไรก็ตาม ความเร็วของคนเดินเท้าหรือวัตถุอื่นใดที่เรากำหนดบนส่วนใหญ่ของเส้นทาง โดยพิจารณาจากการเคลื่อนไหวให้สม่ำเสมอ อาจเปลี่ยนแปลงได้ การเคลื่อนที่ในฟิสิกส์มีหลายรูปแบบ สามารถทำได้ไม่เพียงแค่ความเร่งคงที่เท่านั้น แต่ยังทำให้ช้าลงและเพิ่มขึ้นตามอำเภอใจอีกด้วย ควรสังเกตว่าในกรณีนี้ เส้นที่อธิบายการเคลื่อนไหวจะไม่เป็นเส้นตรงอีกต่อไป ในรูปแบบกราฟิก มันสามารถใช้กับการกำหนดค่าที่ซับซ้อนที่สุดได้ แต่สำหรับจุดใดๆ บนกราฟ เราสามารถวาดแทนเจนต์ที่แสดงโดยฟังก์ชันเชิงเส้นได้เสมอ
เพื่อชี้แจงพารามิเตอร์ของการเปลี่ยนแปลงการกระจัดขึ้นอยู่กับเวลา จำเป็นต้องย่อส่วนที่วัดให้สั้นลง เมื่อมีขนาดเล็กลงอย่างไม่สิ้นสุด ความเร็วที่คำนวณได้จะเกิดขึ้นทันที ประสบการณ์นี้ช่วยให้เรานิยามอนุพันธ์ได้ ความหมายทางกายภาพของมันก็เป็นไปตามเหตุผลจากการให้เหตุผลเช่นกัน
ในแง่ของเรขาคณิต
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ายิ่งความเร็วของร่างกายสูงขึ้น กราฟของการพึ่งพาการเคลื่อนที่ตรงเวลาก็จะยิ่งชันมากขึ้น และด้วยเหตุนี้มุมเอียงของเส้นสัมผัสกับกราฟ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ตัวบ่งชี้ของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวอาจเป็นค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน x และเส้นสัมผัส มันแค่กำหนดค่าของอนุพันธ์และคำนวณโดยอัตราส่วนของความยาวตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกันในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากฉากตั้งฉากตกลงมาจากบางจุดไปยังแกน x
นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์อันดับแรก กายภาพถูกเปิดเผยในความจริงที่ว่าค่าของขาตรงข้ามในกรณีของเราคือระยะทางที่เดินทางและขาที่อยู่ติดกันคือเวลา อัตราส่วนของพวกเขาคือความเร็ว และอีกครั้ง เราก็ได้ข้อสรุปว่าความเร็วชั่วขณะ ซึ่งกำหนดเมื่อช่องว่างทั้งสองมีแนวโน้มที่จะเล็กอย่างไม่สิ้นสุด เป็นแก่นแท้ของแนวคิดของอนุพันธ์ ซึ่งบ่งชี้ความหมายทางกายภาพของมัน อนุพันธ์อันดับสองในตัวอย่างนี้จะเป็นความเร่งของร่างกาย ซึ่งจะแสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว
ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ทางฟิสิกส์
อนุพันธ์เป็นตัวบ่งชี้อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันใดๆ แม้ว่าเราจะไม่ได้พูดถึงการเคลื่อนไหวตามความหมายที่แท้จริงของคำก็ตาม เพื่อแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน ลองมาดูตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมสักสองสามตัวอย่าง สมมติว่ากำลังปัจจุบัน เปลี่ยนแปลงตามเวลา ตามกฎต่อไปนี้: I=0, 4t2 จำเป็นต้องค้นหาค่าของอัตราที่พารามิเตอร์นี้เปลี่ยนแปลงเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 8 ของกระบวนการ สังเกตว่าค่าที่ต้องการนั้นเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ตามที่สามารถตัดสินได้จากสมการ
เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหาอนุพันธ์อันดับแรก ซึ่งถือว่ามีความหมายทางกายภาพก่อนหน้านี้ ที่นี่ dI / dt=0.8t ต่อไปเราพบที่ t \u003d 8 เราได้อัตราการเปลี่ยนแปลงความแรงในปัจจุบันคือ 6.4 A / c นี่ก็ถือว่าปัจจุบันมีหน่วยวัดเป็นแอมแปร์ และเวลาตามลำดับ หน่วยเป็นวินาที
ทุกอย่างเปลี่ยนไป
โลกที่มองเห็นได้ ซึ่งประกอบด้วยสสาร มีการเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา อยู่ในการเคลื่อนไหวของกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในนั้น สามารถใช้พารามิเตอร์ต่างๆ เพื่ออธิบายได้ หากรวมกันโดยการพึ่งพาอาศัยกัน พวกเขาจะถูกเขียนทางคณิตศาสตร์เป็นฟังก์ชันที่แสดงการเปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจน และที่ใดมีการเคลื่อนไหว (ในรูปแบบใดก็ตามที่แสดงออก) ก็จะมีอนุพันธ์ซึ่งมีความหมายทางกายภาพที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในขณะนี้
ในโอกาสนี้ ตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติว่าอุณหภูมิร่างกายเปลี่ยนแปลงตามกฎหมาย T=0, 2 t 2. คุณควรหาอัตราการให้ความร้อนเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 10 ปัญหาได้รับการแก้ไขในลักษณะที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ในกรณีก่อนหน้านี้ นั่นคือเราพบอนุพันธ์และแทนที่ค่าของ t \u003d 10 เข้าไป เราได้ T \u003d 0, 4 t \u003d 4 ซึ่งหมายความว่าคำตอบสุดท้ายคือ 4 องศาต่อวินาทีนั่นคือกระบวนการให้ความร้อน และการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิที่วัดเป็นองศาก็เกิดขึ้นอย่างแม่นยำด้วยความเร็วดังกล่าว
การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ
ในชีวิตจริงทุกอย่างซับซ้อนกว่าปัญหาทางทฤษฎีมาก ในทางปฏิบัติ ค่าของปริมาณมักจะถูกกำหนดระหว่างการทดลอง ในกรณีนี้จะใช้เครื่องมือที่ให้การอ่านค่าระหว่างการวัดโดยมีข้อผิดพลาดบางประการ ดังนั้นในการคำนวณจึงต้องจัดการกับค่าพารามิเตอร์โดยประมาณและใช้การปัดเศษตัวเลขที่ไม่สะดวกเช่นเดียวกับความง่ายอื่น ๆ เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนี้ เราจะดำเนินการแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์อีกครั้ง เนื่องจากพวกมันเป็นเพียงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการที่ซับซ้อนที่สุดที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ
ภูเขาไฟระเบิด
ลองนึกภาพว่าภูเขาไฟระเบิด เขาจะอันตรายแค่ไหน? เพื่อตอบคำถามนี้ ต้องพิจารณาปัจจัยหลายประการ เราจะพยายามรองรับหนึ่งในนั้น
จากปากของ "สัตว์ประหลาดเพลิง" ถูกโยนขึ้นไปในแนวตั้งโดยมีความเร็วเริ่มต้นตั้งแต่ตอนที่มันออกไปด้านนอก 120 m/s จำเป็นต้องคำนวณว่าความสูงใดสามารถไปถึงความสูงสูงสุดได้
ในการหาค่าที่ต้องการ เราจะสร้างสมการการพึ่งพาส่วนสูง H ซึ่งวัดเป็นเมตร เทียบกับค่าอื่นๆ ซึ่งรวมถึงความเร็วและเวลาเริ่มต้น ค่าความเร่งถือว่าทราบและประมาณเท่ากับ 10 m/s2.
อนุพันธ์บางส่วน
ตอนนี้ ให้ลองพิจารณาความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากมุมที่ต่างกันเล็กน้อย เพราะสมการนั้นไม่ได้มีตัวแปรเพียงตัวเดียว แต่มีได้หลายตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในปัญหาก่อนหน้านี้ การพึ่งพาความสูงของก้อนหินที่พุ่งออกมาจากปล่องภูเขาไฟนั้นไม่ได้ถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงในลักษณะเวลาเท่านั้น แต่ยังพิจารณาจากค่าของความเร็วเริ่มต้นด้วย ค่าหลังถือเป็นค่าคงที่และคงที่ แต่ในงานอื่นๆ ที่มีเงื่อนไขต่างกันโดยสิ้นเชิง ทุกสิ่งทุกอย่างก็อาจแตกต่างกันได้ ถ้าปริมาณที่คอมเพล็กซ์ฟังก์ชัน หลาย ๆ การคำนวณทำตามสูตรด้านล่าง
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มักถูกกำหนดในกรณีปกติ นี่คืออัตราที่ฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงในบางจุดเมื่อพารามิเตอร์ของตัวแปรเพิ่มขึ้น มันถูกคำนวณในลักษณะที่ส่วนประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดถูกนำมาเป็นค่าคงที่ มีเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่ถือเป็นตัวแปร จากนั้นทุกอย่างก็เกิดขึ้นตามกฎปกติ
ที่ปรึกษาที่ขาดไม่ได้ในหลายประเด็น
การทำความเข้าใจความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์นั้น ไม่ยากเลยที่จะยกตัวอย่างการแก้ปัญหาที่สลับซับซ้อนและซับซ้อน ซึ่งคำตอบนั้นหาได้จากความรู้ดังกล่าว หากเรามีฟังก์ชันที่อธิบายการสิ้นเปลืองน้ำมันเชื้อเพลิงโดยขึ้นอยู่กับความเร็วของรถ เราสามารถคำนวณได้ว่าค่าพารามิเตอร์ใดของการสิ้นเปลืองน้ำมันเบนซินจะน้อยที่สุด
ในยา คุณสามารถทำนายได้ว่าร่างกายมนุษย์จะมีปฏิกิริยาอย่างไรต่อยาที่แพทย์สั่ง การใช้ยาส่งผลต่อพารามิเตอร์ทางสรีรวิทยาที่หลากหลาย ซึ่งรวมถึงการเปลี่ยนแปลงของความดันโลหิต อัตราการเต้นของหัวใจ อุณหภูมิของร่างกาย และอื่นๆ ทั้งหมดขึ้นอยู่กับปริมาณของยาที่รับประทาน การคำนวณเหล่านี้ช่วยทำนายแนวทางการรักษาทั้งในอาการที่ดีและในอุบัติเหตุที่ไม่พึงประสงค์ที่อาจส่งผลร้ายแรงต่อการเปลี่ยนแปลงในร่างกายของผู้ป่วย
ไม่ต้องสงสัยเลยว่าทำไมต้องเข้าใจความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ในทางเทคนิคโดยเฉพาะด้านวิศวกรรมไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ การออกแบบและการก่อสร้าง
ระยะเบรก
พิจารณาปัญหาต่อไป เมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ รถที่เข้าใกล้สะพานต้องชะลอความเร็วก่อนถึงทางเข้า 10 วินาที เนื่องจากคนขับสังเกตเห็นป้ายถนนที่ห้ามไม่ให้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วมากกว่า 36 กม./ชม. คนขับฝ่าฝืนกฎหรือไม่ถ้าสามารถอธิบายระยะเบรกตามสูตร S=26t - t2?
คำนวณอนุพันธ์อันดับแรก เราหาสูตรของความเร็ว ได้ v=28 – 2t ถัดไป แทนที่ค่า t=10 ลงในนิพจน์ที่ระบุ
เนื่องจากค่านี้แสดงเป็นวินาที ความเร็ว 8 m/s ซึ่งหมายถึง 28.8 km/h ซึ่งทำให้เข้าใจได้ว่าคนขับเริ่มช้าลงทันเวลาและไม่ละเมิดกฎจราจร และด้วยเหตุนี้การจำกัดที่ระบุไว้บนป้ายความเร็ว
สิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นถึงความสำคัญของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ ตัวอย่างของการแก้ปัญหานี้แสดงให้เห็นความกว้างของการใช้แนวคิดนี้ในด้านต่างๆ ของชีวิต รวมถึงในสถานการณ์ประจำวัน
อนุพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์
นักเศรษฐศาสตร์ส่วนใหญ่ทำงานโดยเฉลี่ยจนถึงศตวรรษที่ 19 ไม่ว่าจะเป็นผลผลิตแรงงานหรือราคาผลผลิต แต่จากจุดหนึ่งไป การจำกัดค่าก็มีความจำเป็นมากขึ้นสำหรับการคาดการณ์ที่มีประสิทธิภาพในพื้นที่นี้ ซึ่งรวมถึงยูทิลิตี้ส่วนเพิ่ม รายได้หรือต้นทุน การทำความเข้าใจสิ่งนี้เป็นแรงผลักดันให้เกิดการสร้างเครื่องมือใหม่อย่างสมบูรณ์ในการวิจัยทางเศรษฐกิจซึ่งมีอยู่และพัฒนามากว่าร้อยปี
ในการคำนวณดังกล่าว โดยที่แนวคิดเช่นค่าต่ำสุดและสูงสุดมีอำนาจเหนือกว่า จำเป็นต้องเข้าใจความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์ ในบรรดาผู้สร้างพื้นฐานทางทฤษฎีของสาขาวิชาเหล่านี้ เราสามารถตั้งชื่อนักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษและออสเตรียที่มีชื่อเสียงเช่น US Jevons, K. Menger และคนอื่นๆ ได้ แน่นอนว่าการจำกัดค่าในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์นั้นไม่สะดวกเสมอไป และตัวอย่างเช่น รายงานรายไตรมาสไม่จำเป็นต้องเข้ากับรูปแบบที่มีอยู่ แต่ถึงกระนั้น การประยุกต์ใช้ทฤษฎีดังกล่าวในหลายกรณีก็มีประโยชน์และมีประสิทธิภาพ