การแก้สมการทางคณิตศาสตร์มีที่พิเศษ กระบวนการนี้นำหน้าด้วยการศึกษาทฤษฎีเป็นเวลาหลายชั่วโมง ในระหว่างนั้นนักเรียนจะได้เรียนรู้วิธีการแก้สมการ กำหนดรูปแบบของตนเอง และนำทักษะไปสู่การทำงานอัตโนมัติเต็มรูปแบบ อย่างไรก็ตาม การค้นหารากไม่สมเหตุสมผลเสมอไป เนื่องจากอาจไม่มีอยู่จริง มีวิธีพิเศษในการหาราก ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์หน้าที่หลัก ขอบเขต และกรณีที่รากไม่อยู่
สมการใดไม่มีราก
สมการไม่มีรากหากไม่มีอาร์กิวเมนต์จริง x ซึ่งสมการนั้นเป็นจริงเหมือนกัน สำหรับผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ สูตรนี้ เช่นเดียวกับทฤษฎีบทและสูตรทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ดูเหมือนคลุมเครือและเป็นนามธรรมมาก แต่นี่เป็นในทางทฤษฎี ในทางปฏิบัติทุกอย่างจะง่ายมาก ตัวอย่างเช่น สมการ 0x=-53 ไม่มีคำตอบ เนื่องจากไม่มีตัวเลขดังกล่าว x ผลคูณที่มีศูนย์จะให้อย่างอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
ตอนนี้เราจะมาดูประเภทสมการพื้นฐานที่สุดกัน
1. สมการเชิงเส้น
สมการเรียกว่าเชิงเส้น ถ้าส่วนขวาและซ้ายแสดงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น: ax + b=cx + d หรืออยู่ในรูปแบบทั่วไป kx + b=0 โดยที่ a, b, c, d เป็นที่รู้จัก ตัวเลข และ x คือปริมาณที่ไม่ทราบ สมการใดไม่มีราก ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นแสดงในภาพประกอบด้านล่าง
โดยพื้นฐานแล้ว สมการเชิงเส้นจะแก้ได้โดยการย้ายส่วนตัวเลขไปไว้ส่วนหนึ่งและเนื้อหาของ x ไปยังอีกส่วนหนึ่ง ปรากฎสมการของรูปแบบ mx \u003d n โดยที่ m และ n เป็นตัวเลขและ x ไม่เป็นที่รู้จัก ในการหา x ก็เพียงพอที่จะหารทั้งสองส่วนด้วย m จากนั้น x=n/m โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นมีรากเพียงรากเดียว แต่มีบางกรณีที่รากจำนวนมากเป็นอนันต์หรือไม่มีเลย ด้วย m=0 และ n=0 สมการจะอยู่ในรูปแบบ 0x=0 ตัวเลขใดๆ จะเป็นคำตอบของสมการดังกล่าว
แต่สมการอะไรไม่มีราก?
เมื่อ m=0 และ n=0 สมการไม่มีรากจากเซตของจำนวนจริง 0x=-1; 0x=200 - สมการเหล่านี้ไม่มีราก
2. สมการกำลังสอง
สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบขวาน2 + bx + c=0 สำหรับ a=0 วิธีที่พบบ่อยที่สุดในการแก้สมการกำลังสองคือการแก้สมการ ผ่านการเลือกปฏิบัติ สูตรการหาดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสอง: D=b2 - 4ac. จากนั้นจะมีรากที่สอง x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
เมื่อ D > 0 สมการมีสองราก เมื่อ D=0 - หนึ่งราก แต่สมการกำลังสองข้อใดไม่มีรากวิธีที่ง่ายที่สุดในการสังเกตจำนวนรากของสมการกำลังสองคือกราฟของฟังก์ชันซึ่งก็คือพาราโบลา ที่ > 0 สาขาจะพุ่งขึ้นที่ < 0 สาขาจะลดลง หาก discriminant เป็นลบ สมการกำลังสองดังกล่าวจะไม่มีรากในชุดของจำนวนจริง
คุณยังสามารถกำหนดจำนวนรากด้วยสายตาโดยไม่ต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาส่วนบนของพาราโบลาและกำหนดทิศทางของกิ่งก้านสาขา คุณสามารถกำหนดพิกัด x ของจุดยอดได้โดยใช้สูตร: x0 =-b / 2a ในกรณีนี้ พิกัด y ของจุดยอดหาได้โดยการแทนที่ค่า x0 ลงในสมการดั้งเดิม
สมการกำลังสอง x2 – 8x + 72=0 ไม่มีรากเพราะมีความแตกต่างเชิงลบ D=(–8)2 - 4172=-224. ซึ่งหมายความว่าพาราโบลาไม่ได้สัมผัสแกน x และฟังก์ชันจะไม่รับค่า 0 ดังนั้นสมการจึงไม่มีรากที่แท้จริง
3. สมการตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพิจารณาในวงกลมตรีโกณมิติ แต่ยังสามารถแสดงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้อีกด้วย ในบทความนี้ เราจะมาดูสองฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและสมการของฟังก์ชันนี้กัน: sinx และ cosx เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้สร้างวงกลมตรีโกณมิติที่มีรัศมี 1 |sinx| และ |cosx| ไม่สามารถมากกว่า 1 แล้วสมการ sinx ใดไม่มีราก? พิจารณากราฟของฟังก์ชัน sinx ที่แสดงในภาพด้านล่าง
เราเห็นว่าฟังก์ชันมีความสมมาตรและมีระยะเวลาการทำซ้ำ 2pi จากสิ่งนี้ เราสามารถพูดได้ว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันนี้สามารถเป็น 1 และค่าต่ำสุดคือ -1 ตัวอย่างเช่น นิพจน์ cosx=5 จะไม่มีราก เนื่องจากโมดูโลของมันคือมากกว่าหนึ่ง
นี่คือตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของสมการตรีโกณมิติ อันที่จริง วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาอาจใช้หลายหน้า ในตอนท้ายคุณจะรู้ว่าคุณใช้สูตรผิด และคุณต้องเริ่มใหม่ทั้งหมดอีกครั้ง บางครั้ง แม้จะค้นหารากที่ถูกต้องแล้ว คุณก็สามารถลืมคำนึงถึงข้อจำกัดของ ODZ ได้ ซึ่งเป็นสาเหตุที่รูทหรือช่วงเวลาพิเศษปรากฏในคำตอบ และคำตอบทั้งหมดกลายเป็นคำตอบที่ผิดพลาด ดังนั้น ปฏิบัติตามข้อจำกัดทั้งหมดอย่างเคร่งครัด เพราะรากทั้งหมดไม่เหมาะกับขอบเขตของงาน
4. ระบบสมการ
ระบบสมการคือชุดของสมการที่รวมกับวงเล็บปีกกาหรือวงเล็บเหลี่ยม วงเล็บปีกกาแสดงถึงการดำเนินการร่วมกันของสมการทั้งหมด นั่นคือ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งสมการไม่มีรากหรือขัดแย้งกัน ระบบทั้งหมดก็ไม่มีคำตอบ วงเล็บเหลี่ยมหมายถึงคำว่า "หรือ" ซึ่งหมายความว่าหากสมการของระบบอย่างน้อยหนึ่งสมการมีคำตอบ แล้วทั้งระบบก็มีคำตอบ
คำตอบของระบบวงเล็บเหลี่ยมคือผลรวมของรากทั้งหมดของสมการแต่ละตัว และระบบที่มีเครื่องมือจัดฟันแบบหยิกมีรากทั่วไปเท่านั้น ระบบสมการสามารถรวมฟังก์ชันที่หลากหลายได้ ดังนั้นความซับซ้อนนี้จึงไม่ใช่ให้คุณบอกได้ทันทีว่าสมการใดไม่มีราก
ลักษณะทั่วไปและเคล็ดลับในการหารากของสมการ
ในหนังสือปัญหาและตำราเรียนมีสมการหลายประเภท: สมการที่มีรากและสมการที่ไม่มี อย่างแรกเลย ถ้าคุณหารากไม่ได้ อย่าคิดว่ามันไม่มีอยู่จริง คุณอาจทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง จากนั้นตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณอีกครั้ง
เราได้กล่าวถึงสมการพื้นฐานที่สุดและประเภทของสมการเหล่านี้แล้ว ตอนนี้คุณสามารถบอกได้ว่าสมการใดไม่มีราก ในกรณีส่วนใหญ่ การทำเช่นนี้ทำได้ไม่ยากเลย เพื่อให้บรรลุความสำเร็จในการแก้สมการ ต้องใช้ความสนใจและสมาธิเท่านั้น ฝึกฝนให้มากขึ้น จะช่วยให้คุณไปยังส่วนต่างๆ ของเนื้อหาได้ดีขึ้นและเร็วขึ้นมาก
ดังนั้น สมการไม่มีรากถ้า:
- ในสมการเชิงเส้น mx=n ค่า m=0 และ n=0;
- ในสมการกำลังสองถ้าตัวแยกน้อยกว่าศูนย์
- ในสมการตรีโกณมิติของรูปแบบ cosx=m / sinx=n ถ้า |m| > 0, |n| > 0;
- ในระบบสมการที่มีวงเล็บปีกกา ถ้าอย่างน้อยหนึ่งสมการไม่มีราก และมีวงเล็บเหลี่ยมถ้าสมการทั้งหมดไม่มีราก