วินาที แทนเจนต์ - ทั้งหมดนี้สามารถได้ยินได้หลายร้อยครั้งในบทเรียนเรขาคณิต แต่การสำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนสิ้นสุดลงหลายปีผ่านไปและความรู้ทั้งหมดนี้ก็ลืมไป สิ่งที่ควรจำ
เอสเซนส์
คำว่า "แทนเจนต์ต่อวงกลม" นั้นคงคุ้นเคยกันทุกคน แต่ไม่น่าเป็นไปได้ที่ทุกคนจะสามารถกำหนดคำจำกัดความได้อย่างรวดเร็ว ในขณะเดียวกัน แทนเจนต์คือเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกันกับวงกลมที่ตัดกับมันที่จุดเดียว อาจมีความหลากหลายมาก แต่ทั้งหมดมีคุณสมบัติเหมือนกัน ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง อย่างที่คุณอาจเดาได้ว่าจุดติดต่อคือสถานที่ที่วงกลมและเส้นตัดกัน ในแต่ละกรณีมันเป็นหนึ่ง แต่ถ้ามีมากกว่านั้นก็จะเป็นซีแคนต์
ประวัติศาสตร์การค้นพบและการศึกษา
แนวคิดของการสัมผัสกันปรากฏในสมัยโบราณ การสร้างเส้นตรงเหล่านี้ เริ่มจากวงกลมก่อน จากนั้นจึงสร้างวงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ แม้แต่ในระยะเริ่มต้นของการพัฒนาเรขาคณิต แน่นอนว่าประวัติศาสตร์ไม่ได้รักษาชื่อผู้ค้นพบไว้ แต่เห็นได้ชัดว่าแม้ในขณะนั้น ผู้คนค่อนข้างจะตระหนักถึงคุณสมบัติของแทนเจนต์กับวงกลม
ในยุคปัจจุบัน ความสนใจในปรากฏการณ์นี้กลับมาสดใสอีกครั้ง การศึกษาแนวความคิดนี้รอบใหม่ได้เริ่มต้นขึ้น รวมกับการค้นพบเส้นโค้งใหม่ ดังนั้น กาลิเลโอจึงแนะนำแนวคิดของไซโคลิด และแฟร์มาต์และเดส์การตส์สร้างแทนเจนต์ให้กับมัน สำหรับวงการนี้ ดูเหมือนคนโบราณจะไม่มีความลับเหลืออยู่แล้ว
คุณสมบัติ
รัศมีที่ลากไปยังจุดสี่แยกจะตั้งฉากกับเส้นตรง นี่คือ
หลัก แต่ไม่ใช่คุณสมบัติเดียวที่สัมผัสกับวงกลมมี คุณลักษณะที่สำคัญอีกประการหนึ่งประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้นอยู่แล้ว ดังนั้น ผ่านจุดหนึ่งที่อยู่นอกวงกลม สามารถวาดแทนเจนต์สองเส้นได้ ในขณะที่ส่วนของพวกมันจะเท่ากัน มีทฤษฎีบทอื่นในหัวข้อนี้ แต่ไม่ค่อยครอบคลุมในกรอบของหลักสูตรโรงเรียนมาตรฐาน แม้ว่าจะสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่าง มันฟังเช่นนี้ จากจุดหนึ่งที่อยู่นอกวงกลม แทนเจนต์และซีแคนต์จะถูกวาดลงไป มีการสร้างเซ็กเมนต์ AB, AC และ AD A คือจุดตัดของเส้น B คือจุดสัมผัส C และ D คือทางแยก ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะถูกต้อง: ความยาวของแทนเจนต์ของวงกลม กำลังสอง จะเท่ากับผลคูณของเซ็กเมนต์ AC และ AD
จากข้างต้นมีผลที่สำคัญ สำหรับแต่ละจุดของวงกลม คุณสามารถสร้างแทนเจนต์ได้ แต่เพียงจุดเดียว การพิสูจน์เรื่องนี้ค่อนข้างง่าย: ในทางทฤษฎี วางเส้นตั้งฉากจากรัศมีลงบนมัน เราพบว่าการก่อตัวสามเหลี่ยมไม่สามารถอยู่ได้ และนี่หมายความว่าแทนเจนต์เป็นเพียงอันเดียว
ตึก
ท่ามกลางปัญหาอื่นๆ ในเรขาคณิต มีหมวดหมู่พิเศษตามกฎแล้ว ไม่ใช่
รักลูกศิษย์และลูกศิษย์ ในการแก้ปัญหาจากหมวดหมู่นี้ คุณต้องมีเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เหล่านี้เป็นงานสร้าง นอกจากนี้ยังมีวิธีการสร้างแทนเจนต์
ดังนั้น กำหนดวงกลมและจุดที่อยู่นอกขอบเขตของมัน และจำเป็นต้องวาดแทนเจนต์ผ่านพวกมัน ทำอย่างไร? ก่อนอื่น คุณต้องวาดส่วนระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลม O กับจุดที่กำหนด จากนั้นใช้เข็มทิศแบ่งครึ่ง ในการทำเช่นนี้ คุณต้องกำหนดรัศมี - มากกว่าครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมเดิมกับจุดที่กำหนด หลังจากนั้น คุณต้องสร้างส่วนโค้งที่ตัดกันสองส่วน ยิ่งกว่านั้นรัศมีของเข็มทิศไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน และจุดศูนย์กลางของแต่ละส่วนของวงกลมจะเป็นจุดเริ่มต้นและ O ตามลำดับ ต้องเชื่อมต่อทางแยกของส่วนโค้งซึ่งจะแบ่งส่วนครึ่งหนึ่ง กำหนดรัศมีบนเข็มทิศเท่ากับระยะนี้ ถัดไป โดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดสี่แยก ให้วาดวงกลมอีกวงหนึ่ง ทั้งจุดเริ่มต้นและ O จะอยู่บนนั้น ในกรณีนี้ จะมีทางแยกอีกสองทางที่มีวงกลมที่ระบุในโจทย์ พวกเขาจะเป็นจุดสัมผัสสำหรับจุดที่กำหนดในตอนแรก
น่าสนใจ
มันคือการสร้างแทนเจนต์ของวงกลมที่นำไปสู่การเกิด
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. งานแรกในหัวข้อนี้คือจัดพิมพ์โดย Leibniz นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่มีชื่อเสียง เขาจัดให้มีความเป็นไปได้ในการค้นหาค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และค่าแทนเจนต์ โดยไม่คำนึงถึงค่าที่เป็นเศษส่วนและอตรรกยะ ตอนนี้ก็ใช้สำหรับการคำนวณอื่นๆ ด้วยเช่นกัน
นอกจากนี้ แทนเจนต์ของวงกลมยังสัมพันธ์กับความหมายทางเรขาคณิตของแทนเจนต์ นั่นคือที่มาของชื่อ แปลจากภาษาละติน tangens แปลว่า "แทนเจนต์" ดังนั้น แนวคิดนี้จึงไม่เพียงเชื่อมโยงกับเรขาคณิตและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงตรีโกณมิติด้วย
สองวง
สัมผัสกันไม่ได้มีผลกับรูปร่างเดียวเท่านั้นเสมอไป หากสามารถลากเส้นตรงจำนวนมากไปยังวงกลมเดียวได้ ทำไมไม่ทำในทางกลับกันล่ะ สามารถ. แต่งานในกรณีนี้ซับซ้อนมากเพราะแทนเจนต์ของวงกลมสองวงอาจไม่ผ่านจุดใด ๆ และตำแหน่งสัมพัทธ์ของตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้สามารถมากได้
แตกต่าง.
ชนิดและพันธุ์
เมื่อพูดถึงวงกลมสองวงและหนึ่งหรือหลายบรรทัด แม้ว่าจะรู้ว่าสิ่งเหล่านี้คือแทนเจนต์ แต่ก็ไม่ชัดเจนในทันทีว่าตัวเลขเหล่านี้สัมพันธ์กันอย่างไร ตามนี้ มีหลายพันธุ์. ดังนั้น วงกลมสามารถมีจุดร่วมหนึ่งหรือสองจุดหรือไม่มีเลยก็ได้ ในกรณีแรกจะตัดกัน และกรณีที่สองจะสัมผัสกัน และที่นี่มีสองพันธุ์ หากวงกลมหนึ่งฝังอยู่ในวงกลมที่สองตามที่เป็นอยู่ การสัมผัสจะเรียกว่าภายใน หากไม่ใช่ ก็จะเรียกว่าภายนอก เข้าใจซึ่งกันและกันตำแหน่งของตัวเลขนั้นทำได้ไม่เพียงแค่ตามภาพวาดเท่านั้น แต่ยังมีข้อมูลเกี่ยวกับผลรวมของรัศมีและระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลาง หากปริมาณทั้งสองนี้เท่ากัน วงกลมจะสัมผัสกัน หากอันแรกใหญ่กว่า พวกมันจะตัดกัน และถ้ามันเล็กกว่า พวกมันก็ไม่มีจุดร่วม
เหมือนกันกับเส้นตรง สำหรับวงกลมสองวงที่ไม่มีจุดร่วม คุณสามารถ
สร้างสี่แทนเจนต์ สองคนจะตัดกันระหว่างร่างเรียกว่าภายใน อีกสองสามตัวเป็นภายนอก
ถ้าเรากำลังพูดถึงวงกลมที่มีจุดร่วมจุดเดียว งานนี้ก็จะง่ายขึ้นมาก ความจริงก็คือสำหรับการจัดการร่วมกันในกรณีนี้ พวกเขาจะมีเพียงหนึ่งแทนเจนต์ และมันจะผ่านจุดสี่แยกของพวกเขา ดังนั้นการสร้างความยากจะไม่ทำให้เกิด
ถ้ารูปมีจุดตัดกันสองจุด ก็สามารถสร้างเส้นตรงให้พวกมันได้ โดยสัมผัสวงกลมทั้งจุดหนึ่งและจุดที่สอง แต่มีเพียงจุดนอกเท่านั้น วิธีแก้ปัญหานี้คล้ายกับที่จะกล่าวถึงด้านล่าง
การแก้ปัญหา
ทั้งภายในและภายนอกของวงกลมสองวงนั้นสร้างได้ไม่ง่ายนัก แม้ว่าปัญหานี้จะสามารถแก้ไขได้ ความจริงก็คือมีการใช้ฟิกเกอร์เสริมสำหรับสิ่งนี้ ลองคิดวิธีนี้ด้วยตัวคุณเอง
ค่อนข้างมีปัญหา ดังนั้น ให้วงกลมสองวงที่มีรัศมีและจุดศูนย์กลางต่างกัน O1 และ O2 สำหรับพวกเขา คุณต้องสร้างแทนเจนต์สองคู่
อย่างแรกเลย ใกล้ศูนย์กลางของที่ใหญ่กว่าวงการต้องสร้างเสริม ในกรณีนี้ ต้องกำหนดความแตกต่างระหว่างรัศมีของตัวเลขเริ่มต้นทั้งสองบนเข็มทิศ แทนเจนต์กับวงกลมเสริมถูกสร้างขึ้นจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เล็กกว่า หลังจากนั้น จาก O1 และ O2 เส้นตั้งฉากจะถูกลากไปยังเส้นเหล่านี้จนกว่าจะตัดกับตัวเลขเดิม จากคุณสมบัติหลักของแทนเจนต์จะพบจุดที่ต้องการบนวงกลมทั้งสอง แก้ไขปัญหาแล้ว อย่างน้อยก็ส่วนแรก
ในการสร้างแทนเจนต์ภายใน คุณจะต้องแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ
งานที่คล้ายกัน อีกครั้งจำเป็นต้องมีตัวเลขเสริม แต่คราวนี้รัศมีจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขเดิม แทนเจนต์ถูกสร้างขึ้นจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด แนวทางการแก้ปัญหาเพิ่มเติมสามารถเข้าใจได้จากตัวอย่างก่อนหน้านี้
สัมผัสกับวงกลมหรือสองหรือมากกว่านั้นไม่ใช่เรื่องยาก แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์หยุดแก้ปัญหาด้วยตนเองมานานแล้วและเชื่อมั่นในการคำนวณในโปรแกรมพิเศษ แต่อย่าคิดว่าตอนนี้ไม่จำเป็นที่จะทำได้ด้วยตัวเองเพราะเพื่อที่จะกำหนดงานสำหรับคอมพิวเตอร์ได้อย่างถูกต้องคุณต้องทำและทำความเข้าใจให้มาก น่าเสียดายที่มีความกลัวว่าหลังจากการเปลี่ยนรูปแบบการทดสอบครั้งสุดท้ายของการควบคุมความรู้ งานก่อสร้างจะทำให้นักเรียนลำบากมากขึ้นเรื่อยๆ
ในการค้นหาเส้นสัมผัสร่วมสำหรับวงกลมจำนวนมากขึ้น เป็นไปไม่ได้เสมอไป แม้ว่าจะอยู่ในระนาบเดียวกันก็ตาม แต่ในบางกรณี คุณสามารถหาเส้นตรงได้
ตัวอย่างชีวิต
ในทางปฏิบัติมักจะพบแทนเจนต์ร่วมของวงกลมสองวง แม้ว่าจะไม่ได้สังเกตเห็นได้ชัดเจนเสมอไป สายพานลำเลียง ระบบบล็อก สายพานส่งลูกรอก ความตึงด้ายในจักรเย็บผ้า และแม้แต่โซ่จักรยาน ทั้งหมดนี้เป็นเพียงตัวอย่างจากชีวิต ดังนั้นอย่าคิดว่าปัญหาทางเรขาคณิตยังคงอยู่ในทฤษฎีเท่านั้น: ในทางวิศวกรรม ฟิสิกส์ การก่อสร้าง และด้านอื่นๆ อีกมากมาย ปัญหาเหล่านี้พบการนำไปใช้ได้จริง