สำหรับหลายๆ คน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นเพียงชุดของตัวเลข ไอคอน และคำจำกัดความที่เข้าใจยากซึ่งอยู่ห่างไกลจากชีวิตจริง อย่างไรก็ตาม โลกที่เราดำรงอยู่นั้นสร้างขึ้นจากรูปแบบตัวเลข การระบุตัวตนซึ่งไม่เพียงช่วยให้เรียนรู้เกี่ยวกับโลกรอบตัวเราและแก้ปัญหาที่ซับซ้อนเท่านั้น แต่ยังช่วยให้งานจริงในชีวิตประจำวันง่ายขึ้นด้วย นักคณิตศาสตร์หมายความว่าอย่างไรเมื่อเขาบอกว่าลำดับตัวเลขมาบรรจบกัน เรื่องนี้ควรจะคุยกันให้ละเอียดกว่านี้
อนันต์คืออะไร
ลองนึกภาพตุ๊กตามาตรีออชก้าที่ใส่เข้าไปข้างในกัน ขนาดของพวกเขาเขียนเป็นตัวเลขโดยเริ่มจากขนาดใหญ่ที่สุดและลงท้ายด้วยตัวเลขที่เล็กที่สุดในรูปแบบลำดับ หากคุณจินตนาการถึงตัวเลขที่สดใสจำนวนอนันต์แถวที่ได้จะยาวอย่างน่าอัศจรรย์ นี่คือลำดับเลขคอนเวอร์เจนซ์ และมีแนวโน้มว่าจะเป็นศูนย์ เนื่องจากขนาดของตุ๊กตาที่ทำรังที่ตามมาแต่ละตัวลดลงอย่างร้ายแรง ค่อยๆ กลายเป็นไม่มีอะไรเลย ง่ายมากสามารถอธิบายได้: อะไรคือสิ่งเล็กน้อย
ตัวอย่างที่คล้ายกันคือถนนที่นำไปสู่ระยะทาง และมิติการมองเห็นของรถที่ขับออกจากผู้สังเกตไปตามนั้น ค่อยๆ หดเล็กลง กลายเป็นจุดที่ไม่มีรูปร่างคล้ายจุด ดังนั้นเครื่องจักรก็เหมือนกับวัตถุที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ไม่รู้จักจึงมีขนาดเล็กอย่างไม่สิ้นสุด พารามิเตอร์ของเนื้อหาที่ระบุจะไม่เป็นศูนย์ในความหมายตามตัวอักษรของคำ แต่มีแนวโน้มที่ค่านี้ในขีดจำกัดสุดท้ายเสมอ ดังนั้น ลำดับนี้มาบรรจบกันอีกครั้งเป็นศูนย์
คำนวณทุกอย่างทีละหยด
ลองนึกภาพสถานการณ์ทางโลกกัน แพทย์สั่งให้ผู้ป่วยกินยาโดยเริ่มจากวันละสิบหยดและเพิ่มวันละสองเม็ด ดังนั้นแพทย์จึงแนะนำให้ดำเนินการต่อจนกว่าเนื้อหาของขวดยาซึ่งมีปริมาตร 190 หยดหมด จากที่กล่าวไปข้างต้นว่าจำนวนดังกล่าวซึ่งกำหนดตามวันจะเป็นชุดตัวเลขต่อไปนี้ 10, 12, 14 เป็นต้น
จะหาเวลาเรียนจบทั้งหลักสูตรและจำนวนสมาชิกในซีเควนได้อย่างไร? แน่นอนว่าในที่นี้ เราสามารถนับการดรอปด้วยวิธีดั้งเดิมได้ แต่จากรูปแบบจะง่ายกว่ามากในการใช้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขั้นตอน d=2 และใช้วิธีนี้หาว่าจำนวนสมาชิกของชุดตัวเลขคือ 10 ในกรณีนี้, a10=28. หมายเลของคชาตระบุจำนวนวันที่รับประทานยา และ 28 หมายถึงจำนวนหยดที่ผู้ป่วยควรใช้ในวันสุดท้าย ลำดับนี้มาบรรจบกันหรือไม่? ไม่ เพราะถึงแม้จะจำกัดไว้ที่ 10 จากด้านล่างและ 28 จากด้านบน ชุดตัวเลขดังกล่าวไม่มีขีดจำกัด ซึ่งแตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้
ต่างกันอย่างไร
ตอนนี้เราลองมาชี้แจงกัน: เมื่ออนุกรมจำนวนกลายเป็นลำดับการบรรจบกัน คำจำกัดความของประเภทนี้ ดังที่สามารถสรุปได้จากข้างต้น เกี่ยวข้องโดยตรงกับแนวคิดของขีดจำกัดจำกัด การมีอยู่ซึ่งเผยให้เห็นสาระสำคัญของปัญหา แล้วอะไรคือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างตัวอย่างที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้? และเหตุใดหมายเลข 28 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนจำกัดของซีรีส์ X =10 + 2(n-1)?
เพื่ออธิบายคำถามนี้ ให้ลองพิจารณาลำดับอื่นที่กำหนดโดยสูตรด้านล่าง โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ
ชุมชนของสมาชิกนี้คือชุดของเศษส่วนร่วม ตัวเศษคือ 1 และตัวส่วนเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง: 1, ½ …
ยิ่งกว่านั้น ตัวแทนที่ต่อเนื่องกันของซีรีส์นี้เข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ ในแง่ของตำแหน่งบนเส้นจำนวน และนี่หมายความว่าย่านดังกล่าวจะปรากฏขึ้นโดยที่คะแนนจะรวมกันเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นขีดจำกัด และยิ่งพวกมันอยู่ใกล้มันมากเท่าไหร่ ความเข้มข้นของพวกมันบนเส้นจำนวนก็จะยิ่งหนาแน่นมากขึ้นเท่านั้น และระยะห่างระหว่างกันก็ลดลงอย่างหายนะ กลายเป็นระยะห่างเพียงเล็กน้อย นี่เป็นสัญญาณว่าซีเควนซ์กำลังบรรจบกัน
คล้ายกันดังนั้น สี่เหลี่ยมหลากสีที่แสดงในรูป เมื่อเคลื่อนออกไปในอวกาศ จะมองเห็นได้หนาแน่นยิ่งขึ้น ในขีดจำกัดสมมุติฐานกลายเป็นเล็กน้อย
ลำดับใหญ่ไม่สิ้นสุด
เมื่อวิเคราะห์คำจำกัดความของลำดับการบรรจบกันแล้ว มาต่อกันที่ตัวอย่างที่ขัดแย้งกัน หลายคนรู้จักมนุษย์มาตั้งแต่สมัยโบราณ ตัวแปรที่ง่ายที่สุดของลำดับไดเวอร์เจนต์คือชุดของจำนวนธรรมชาติและจำนวนคู่ พวกเขาถูกเรียกว่ามีขนาดใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดในวิธีที่ต่างกันเนื่องจากสมาชิกของพวกเขาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ กำลังเข้าใกล้อินฟินิตี้เชิงบวกมากขึ้นเรื่อยๆ
ตัวอย่างดังกล่าวอาจเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตใดๆ ด้วยขั้นตอนและตัวส่วน ตามลำดับ มากกว่าศูนย์ นอกจากนี้ อนุกรมตัวเลขยังถือเป็นลำดับที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่มีขีดจำกัดเลย ตัวอย่างเช่น X =(-2) -1.
ลำดับฟีโบนักชี
ผลประโยชน์เชิงปฏิบัติของชุดตัวเลขที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้สำหรับมนุษยชาตินั้นไม่อาจปฏิเสธได้ แต่มีตัวอย่างที่ดีอื่น ๆ อีกนับไม่ถ้วน หนึ่งในนั้นคือลำดับฟีโบนักชี สมาชิกแต่ละคนซึ่งขึ้นต้นด้วยหนึ่งคือผลรวมของสมาชิกก่อนหน้า ตัวแทนสองคนแรกคือ 1 และ 1 ตัวที่สาม 1+1=2 ตัวที่สี่ 1+2=3 ตัวที่ห้า 2+3=5 นอกจากนี้ ตามตรรกะเดียวกัน ตัวเลข 8, 13, 21 และอื่นๆ ก็ตามมา
ตัวเลขชุดนี้เพิ่มขึ้นไม่มีกำหนดและไม่มีขีด จำกัด สุดท้าย แต่มีคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมอีกอย่างหนึ่ง อัตราส่วนของตัวเลขก่อนหน้าแต่ละหมายเลขกับหมายเลขถัดไปใกล้ขึ้นเรื่อยๆ ในค่าของมันคือ 0.618 ที่นี่ คุณสามารถเข้าใจความแตกต่างระหว่างลำดับการบรรจบกันและลำดับไดเวอร์เจนต์ เพราะหากคุณสร้างชุดของการแบ่งบางส่วนที่ได้รับ ระบบตัวเลขที่ระบุจะ มีขีดจำกัดเท่ากับ 0.618.
ลำดับของอัตราส่วนฟีโบนักชี
ชุดตัวเลขที่ระบุด้านบนนี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติสำหรับการวิเคราะห์ทางเทคนิคของตลาด แต่สิ่งนี้ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ความสามารถของมัน ซึ่งชาวอียิปต์และชาวกรีกรู้จักและสามารถนำไปปฏิบัติได้ในสมัยโบราณ สิ่งนี้พิสูจน์ได้จากปิรามิดที่พวกเขาสร้างและวิหารพาร์เธนอน ท้ายที่สุดแล้ว ตัวเลข 0.618 เป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ของส่วนสีทอง ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในสมัยก่อน ตามกฎนี้ ส่วนใดส่วนหนึ่งสามารถแบ่งออกได้เพื่อให้อัตราส่วนระหว่างส่วนต่างๆ จะตรงกับอัตราส่วนระหว่างส่วนที่ใหญ่ที่สุดกับความยาวทั้งหมด
มาสร้างชุดความสัมพันธ์ที่ระบุและลองวิเคราะห์ลำดับนี้ ชุดตัวเลขจะเป็นดังนี้: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 เป็นต้น เราสามารถแน่ใจได้ว่าขีดจำกัดของลำดับการบรรจบกันจะเท่ากับ 0.618 อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องสังเกตคุณสมบัติอื่นๆ ของความสม่ำเสมอนี้ ที่นี่ตัวเลขดูเหมือนจะสุ่มและไม่เรียงลำดับจากน้อยไปมากหรือมากไปหาน้อย ซึ่งหมายความว่าลำดับการบรรจบกันนี้ไม่ใช่เสียงเดียว เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้จะมีการหารือเพิ่มเติม
ความซ้ำซากจำเจและข้อจำกัด
จำนวนสมาชิกของชุดตัวเลขจะลดลงอย่างเห็นได้ชัดตามจำนวนที่เพิ่มขึ้น (ถ้า x1>x2>x3>…>x >…) หรือเพิ่มขึ้น (ถ้า x1<x2<x3<…<x <…). ในกรณีนี้ ลำดับจะเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด รูปแบบอื่นๆ ยังสามารถสังเกตได้ โดยที่ชุดตัวเลขจะไม่ลดลงและไม่เพิ่มขึ้น (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… หรือ x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…) จากนั้นตัวที่บรรจบกันแบบต่อเนื่องก็เป็นแบบโมโนโทนิกเท่านั้น ไม่ใช่ในแง่ที่เข้มงวด ตัวอย่างที่ดีของตัวเลือกแรกคือชุดตัวเลขที่กำหนดโดยสูตรต่อไปนี้
เมื่อวาดตัวเลขของซีรีส์นี้แล้ว คุณจะเห็นว่าสมาชิกคนใดก็ตามที่เข้าใกล้ 1 อย่างไม่มีกำหนดจะไม่มีวันเกินค่านี้ ในกรณีนี้ ลำดับการบรรจบกันเรียกว่ามีขอบเขต สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่มีจำนวนบวก M ซึ่งมากกว่าเงื่อนไขใดๆ ของโมดูโลซีรีส์เสมอ หากอนุกรมจำนวนมีสัญญาณของความซ้ำซากจำเจและมีข้อ จำกัด ดังนั้นจึงมาบรรจบกันก็จำเป็นต้องมีคุณสมบัติดังกล่าว และสิ่งที่ตรงกันข้ามไม่จำเป็นต้องเป็นจริง นี่คือหลักฐานโดยทฤษฎีบทขอบเขตสำหรับลำดับการบรรจบกัน
การประยุกต์ใช้ข้อสังเกตดังกล่าวในทางปฏิบัติมีประโยชน์มาก ยกตัวอย่างเฉพาะโดยพิจารณาคุณสมบัติของลำดับ X =n/n+1 และพิสูจน์การบรรจบกัน เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่าเป็นเสียงเดียว เนื่องจาก (x +1 – x ) เป็นจำนวนบวก สำหรับค่า n ใดๆ ขีด จำกัด ของลำดับเท่ากับหมายเลข 1 ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขทั้งหมดของทฤษฎีบทข้างต้นหรือที่เรียกว่าทฤษฎีบท Weierstrass เป็นที่พอใจ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขอบเขตของลำดับการบรรจบกันระบุว่าถ้ามันมีขีดจำกัด แล้วในกรณีใด ๆ มันก็กลายเป็นขอบเขต อย่างไรก็ตาม ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ ชุดตัวเลข X =(-1) ถูกล้อมรอบด้วย -1 และจากข้างบนด้วย 1 แต่ลำดับนี้ไม่ซ้ำซากจำเจ ไม่มี จำกัด ดังนั้นจึงไม่มาบรรจบกัน นั่นคือ การมีอยู่ของลิมิตและการบรรจบกันไม่ได้เกิดขึ้นจากข้อจำกัดเสมอไป เพื่อให้ใช้งานได้ ขีดจำกัดล่างและบนต้องตรงกัน เช่นในกรณีของอัตราส่วน Fibonacci
ตัวเลขและกฎของจักรวาล
ตัวแปรที่ง่ายที่สุดของลำดับการบรรจบและแตกต่างอาจเป็นอนุกรมตัวเลข X =n และ X =1/n อันแรกเป็นอนุกรมของตัวเลข มันใหญ่มากอย่างที่กล่าวไปแล้ว ลำดับการบรรจบกันที่สองมีขอบเขต และเทอมของมันถูกจำกัดด้วยขนาดที่เล็กที่สุด แต่ละสูตรเหล่านี้แสดงถึงด้านใดด้านหนึ่งของจักรวาลที่มีหลายแง่มุม ช่วยให้บุคคลสามารถจินตนาการและคำนวณสิ่งที่ไม่สามารถเข้าใจได้ ไม่สามารถเข้าถึงการรับรู้ที่จำกัดในภาษาของตัวเลขและสัญลักษณ์
กฎของจักรวาลซึ่งมีตั้งแต่เล็กน้อยไปจนถึงใหญ่อย่างเหลือเชื่อยังแสดงอัตราส่วนทองคำที่ 0.618 อีกด้วยพวกเขาเชื่อว่ามันเป็นพื้นฐานของแก่นแท้ของสิ่งต่าง ๆ และธรรมชาติใช้เพื่อสร้างชิ้นส่วนของมัน ความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกชุดถัดไปกับสมาชิกก่อนหน้าของซีรี่ส์ Fibonacci ที่เราได้กล่าวไปแล้วนั้น ไม่ได้ทำให้การสาธิตคุณสมบัติอันน่าทึ่งของชุดพิเศษนี้เสร็จสมบูรณ์ หากเราพิจารณาผลหารของการหารเทอมก่อนหน้าด้วยเทอมถัดไปผ่านหนึ่ง เราก็จะได้ชุดค่าเท่ากับ 0.5 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 และอื่นๆ เป็นที่น่าสนใจว่าลำดับที่จำกัดนี้มาบรรจบกัน มันไม่ซ้ำซากจำเจ แต่อัตราส่วนของตัวเลขที่อยู่ใกล้เคียงสุดขั้วจากสมาชิกบางคนมักจะประมาณ 0.382 ซึ่งสามารถใช้ในสถาปัตยกรรม การวิเคราะห์ทางเทคนิค และอุตสาหกรรมอื่นๆ
มีสัมประสิทธิ์ที่น่าสนใจอื่นๆ ของอนุกรมฟีโบนักชี ซึ่งล้วนมีบทบาทพิเศษในธรรมชาติ และยังใช้โดยมนุษย์เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์มั่นใจว่าจักรวาลพัฒนาตาม "เกลียวทอง" ที่เกิดขึ้นจากสัมประสิทธิ์ที่ระบุ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จึงสามารถคำนวณปรากฏการณ์มากมายที่เกิดขึ้นบนโลกและในอวกาศได้ ตั้งแต่การเติบโตของแบคทีเรียบางชนิดไปจนถึงการเคลื่อนที่ของดาวหางที่อยู่ห่างไกลออกไป ปรากฎว่ารหัส DNA เป็นไปตามกฎหมายที่คล้ายกัน
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง
มีทฤษฎีบทที่ยืนยันความเป็นเอกลักษณ์ของลิมิตของลำดับการบรรจบกัน ซึ่งหมายความว่าจะไม่มีขีด จำกัด สองข้อขึ้นไปซึ่งเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการค้นหาลักษณะทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย
มาดูกันหน่อยกรณี ชุดตัวเลขใดๆ ที่ประกอบด้วยสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะมีความแตกต่างกัน ยกเว้นกรณีที่มีขั้นตอนเป็นศูนย์ เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งตัวส่วนมีค่ามากกว่า 1 ขีด จำกัด ของอนุกรมตัวเลขดังกล่าวคือ "บวก" หรือ "ลบ" ของอนันต์ หากตัวส่วนน้อยกว่า -1 ก็ไม่มีขีดจำกัดเลย มีตัวเลือกอื่น ๆ ให้เลือก
พิจารณาชุดตัวเลขที่กำหนดโดยสูตร X =(1/4) -1. เมื่อมองแวบแรก จะเห็นได้ง่ายว่าลำดับการบรรจบกันนี้มีขอบเขตเพราะมีการลดลงอย่างเคร่งครัดและไม่มีทางรับค่าลบได้
มาเขียนเลขกันต่อกัน
มันจะกลายเป็น: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 และอื่นๆ การคำนวณที่ค่อนข้างง่ายก็เพียงพอที่จะเข้าใจว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ลดลงอย่างรวดเร็วจากตัวส่วน 0<q<1 แม้ว่าตัวส่วนของเงื่อนไขจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดของชุดตัวเลขคือ 0 ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นอีกครั้งถึงลักษณะจำกัดของลำดับการบรรจบกัน
ซีเควนซ์พื้นฐาน
Augustin Louis Cauchy นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เปิดเผยผลงานมากมายที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ให้โลกรู้ เขาให้คำจำกัดความของแนวคิดต่างๆ เช่น ดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัล ลิมิต และความต่อเนื่อง เขายังศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของลำดับการบรรจบกันด้วย เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ของความคิดรายละเอียดที่สำคัญบางอย่างต้องถูกสรุป
ในตอนต้นของบทความ แสดงให้เห็นว่ามีลำดับดังกล่าวซึ่งมีย่านที่คะแนนเป็นตัวแทนของสมาชิกของซีรีส์บางเรื่องในบรรทัดจริงเริ่มรวมกลุ่มกันมากขึ้นเรื่อยๆ หนาแน่น. ในเวลาเดียวกัน ระยะห่างระหว่างพวกเขาลดลงเมื่อจำนวนตัวแทนคนต่อไปเพิ่มขึ้น กลายเป็นสิ่งเล็กๆ อย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น ปรากฎว่าในละแวกที่กำหนด ตัวแทนจำนวนอนันต์ของซีรีส์ที่กำหนดจะถูกจัดกลุ่ม ในขณะที่นอกเขตนั้นมีจำนวนจำกัด ลำดับดังกล่าวเรียกว่าพื้นฐาน
เกณฑ์ Cauchy ที่มีชื่อเสียงซึ่งสร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส แสดงให้เห็นชัดเจนว่าการมีอยู่ของคุณสมบัติดังกล่าวเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าลำดับมาบรรจบกัน สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน
ควรสังเกตว่าบทสรุปของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสส่วนใหญ่มีความสนใจในทางทฤษฎีล้วนๆ การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติถือว่าเป็นเรื่องที่ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้น เพื่อที่จะชี้แจงการบรรจบกันของอนุกรมวิธาน สิ่งที่สำคัญกว่ามากคือการพิสูจน์การมีอยู่ของขีดจำกัดจำกัดของลำดับ มิเช่นนั้นถือว่าไม่ต่างกัน
เมื่อแก้ปัญหา เราควรคำนึงถึงคุณสมบัติพื้นฐานของลำดับการบรรจบกันด้วย แสดงอยู่ด้านล่าง
ผลรวมอนันต์
นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในสมัยโบราณเช่น Archimedes, Euclid, Eudoxus ใช้ผลรวมของอนุกรมจำนวนอนันต์ในการคำนวณความยาวของส่วนโค้ง ปริมาตรของร่างกายและพื้นที่ของตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยวิธีนี้จึงสามารถหาพื้นที่ของส่วนพาราโบลาได้ สำหรับสิ่งนี้ จะใช้ผลรวมของอนุกรมตัวเลขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย q=1/4 ปริมาณและพื้นที่ของตัวเลขตามอำเภอใจอื่น ๆ พบในลักษณะเดียวกัน ตัวเลือกนี้เรียกว่าวิธี "หมดแรง" แนวคิดก็คือว่าร่างกายที่ศึกษาซึ่งมีรูปร่างซับซ้อน ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ซึ่งเป็นตัวเลขที่วัดค่าพารามิเตอร์ได้ง่าย ด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่เรื่องยากในการคำนวณพื้นที่และปริมาตร จากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน
อย่างไรก็ตาม งานที่คล้ายกันนั้นคุ้นเคยกับเด็กนักเรียนยุคใหม่มาก และพบได้ในงาน USE วิธีการที่ไม่เหมือนใครซึ่งพบโดยบรรพบุรุษที่อยู่ห่างไกลกันนั้นเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด แม้ว่าจะมีการแบ่งตัวเลขเพียงสองหรือสามส่วน การเพิ่มพื้นที่ยังคงเป็นผลรวมของชุดตัวเลข
ช้ากว่านักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Leibniz และ Newton จากประสบการณ์ของบรรพบุรุษที่ชาญฉลาด พวกเขาได้เรียนรู้รูปแบบของการคำนวณเชิงปริพันธ์ ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของลำดับช่วยให้พวกเขาแก้สมการเชิงอนุพันธ์และพีชคณิตได้ ในปัจจุบัน ทฤษฎีอนุกรมวิธานซึ่งสร้างขึ้นโดยความพยายามของนักวิทยาศาสตร์ที่มีความสามารถหลายชั่วอายุคน ได้ให้โอกาสในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และเชิงปฏิบัติจำนวนมาก และการศึกษาลำดับตัวเลขก็เป็นปัญหาหลักที่แก้ไขได้ด้วยการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เริ่มก่อตั้ง