ความขนานของระนาบเป็นแนวคิดที่ปรากฏตัวครั้งแรกในเรขาคณิตแบบยุคลิดเมื่อสองพันปีที่แล้ว
ลักษณะสำคัญของเรขาคณิตคลาสสิก
การกำเนิดของวินัยทางวิทยาศาสตร์นี้เกี่ยวข้องกับงานที่มีชื่อเสียงของนักคิดชาวกรีกโบราณ Euclid ผู้เขียนแผ่นพับ "จุดเริ่มต้น" ในศตวรรษที่สามก่อนคริสต์ศักราช แบ่งออกเป็นหนังสือสิบสามเล่ม Elements เป็นความสำเร็จสูงสุดของคณิตศาสตร์โบราณทั้งหมดและกำหนดสมมติฐานพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของตัวเลขเครื่องบิน
เงื่อนไขคลาสสิกสำหรับการขนานกันของระนาบถูกกำหนดดังนี้: ระนาบสองระนาบสามารถเรียกได้ว่าขนานกันหากไม่มีจุดร่วมระหว่างกัน นี่เป็นสัจธรรมข้อที่ห้าของแรงงานยุคลิด
คุณสมบัติของระนาบคู่ขนาน
ในเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยปกติจะมีห้ารูปเหล่านี้:
คุณสมบัติแรก (อธิบายความเท่าเทียมของระนาบและความเป็นเอกลักษณ์ของพวกมัน) ผ่านจุดหนึ่งที่อยู่นอกระนาบที่กำหนด เราสามารถวาดระนาบเดียวและเพียงอันเดียวขนานกับมัน
- คุณสมบัติที่สอง (เรียกอีกอย่างว่าคุณสมบัติของสามคู่ขนาน) เมื่อเครื่องบินสองลำอยู่ขนานที่สาม ขนานกัน
คุณสมบัติที่สาม (เรียกอีกอย่างว่าคุณสมบัติของเส้นตรงที่ตัดกับความขนานของระนาบ) หากเส้นตรงเส้นเดียวตัดกับระนาบคู่ขนานเหล่านี้ เส้นนั้นจะตัดกับอีกเส้นหนึ่ง
สมบัติที่สี่ (สมบัติของเส้นตรงที่ตัดบนระนาบขนานกัน). เมื่อระนาบขนานสองระนาบตัดกับส่วนที่สาม (ที่มุมใดก็ได้) เส้นตัดของพวกมันจะขนานกัน
คุณสมบัติที่ห้า (คุณสมบัติที่อธิบายส่วนของเส้นขนานที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ระหว่างระนาบขนานกัน) ส่วนของเส้นขนานที่อยู่ระหว่างระนาบคู่ขนานสองระนาบนั้นจำเป็นต้องเท่ากัน
ความขนานของระนาบในรูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิด
แนวทางดังกล่าวโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรขาคณิตของ Lobachevsky และ Riemann ถ้าเรขาคณิตของยุคลิดเกิดขึ้นบนพื้นที่ราบ เรขาคณิตของโลบาชอฟสกีก็ถูกรับรู้ในพื้นที่โค้งเชิงลบ (เพียงแค่โค้ง) และในรีมันน์ จะพบการตระหนักรู้ในช่องว่างโค้งที่เป็นบวก (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทรงกลม) มีความคิดเห็นแบบเหมารวมทั่วไปว่าระนาบคู่ขนานของ Lobachevsky (และเส้นตรงด้วย) ตัดกัน
อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง อันที่จริง การกำเนิดของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกนั้นสัมพันธ์กับการพิสูจน์สัจพจน์ที่ห้าของยุคลิดและการเปลี่ยนแปลงอย่างไรก็ตาม ทัศนะเกี่ยวกับมัน คำจำกัดความของระนาบและเส้นคู่ขนานบ่งบอกว่าพวกมันไม่สามารถตัดกันใน Lobachevsky หรือ Riemann ไม่ว่าพวกเขาจะรับรู้ในช่องว่างใด และการเปลี่ยนแปลงในมุมมองและสูตรมีดังนี้ สมมุติฐานว่าระนาบขนานเดียวเท่านั้นที่สามารถลากผ่านจุดที่ไม่อยู่บนระนาบที่กำหนดได้ถูกแทนที่ด้วยสูตรอื่น: ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนระนาบเฉพาะที่กำหนดอย่างน้อยสองเส้นที่อยู่ในระนาบ ระนาบเดียวกันกับระนาบที่กำหนดและห้ามตัดมัน