การหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เป็นการกระทำที่สำคัญไม่เพียงแต่สำหรับพีชคณิตเชิงเส้นเท่านั้น เช่น ในทางเศรษฐศาสตร์ การใช้การคำนวณนี้ ระบบของสมการเชิงเส้นที่มีค่าไม่ทราบจำนวนมากจะได้รับการแก้ไข ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาทางเศรษฐกิจ.
แนวคิดดีเทอร์มิแนนต์
ดีเทอร์มีแนนต์หรือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์คือค่าเท่ากับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์แถวหรือคอลัมน์ ค่านี้สามารถคำนวณได้เฉพาะสำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน ถ้าสมาชิกของเมทริกซ์เป็นตัวเลข ดีเทอร์มีแนนต์ก็เป็นตัวเลขด้วย
การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
ควรจำไว้ว่ามีกฎหลายข้อที่สามารถอำนวยความสะดวกในการคำนวณดังกล่าวได้อย่างมาก
ดังนั้นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัวจึงเท่ากับองค์ประกอบเดียวของมัน การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสองไม่ใช่เรื่องยาก สำหรับสิ่งนี้ ก็เพียงพอที่จะลบผลคูณขององค์ประกอบที่อยู่ในแนวทแยงรองออกจากผลคูณของสมาชิกของเส้นทแยงมุมหลัก
การคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่ 3 ทำได้ง่ายที่สุดตามกฎสามเหลี่ยม ในการดำเนินการนี้ ให้ดำเนินการดังต่อไปนี้:
- ค้นหาผลคูณของเมทริกซ์สามตัวที่อยู่บนตัวหลัก
- คูณสามพจน์บนสามเหลี่ยมที่มีฐานขนานกับเส้นทแยงมุมหลัก
- ทำซ้ำการกระทำแรกและครั้งที่สองสำหรับเส้นทแยงมุมรอง
- ค้นหาผลรวมของค่าทั้งหมดที่ได้รับในการคำนวณก่อนหน้า ในขณะที่ตัวเลขที่ได้รับในย่อหน้าที่สามจะใช้เครื่องหมายลบ
แนวทแยง
ในการหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่ 4 อย่างง่ายดาย เช่นเดียวกับมิติที่สูงกว่า จำเป็นต้องพิจารณาคุณสมบัติที่ดีเทอร์มีแนนต์ทั้งหมดมี:
- ค่าของดีเทอร์มีแนนต์ไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากการเคลื่อนย้ายเมทริกซ์
- การเปลี่ยนตำแหน่งของสองแถวหรือคอลัมน์ที่อยู่ติดกันทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์
- หากเมทริกซ์มีสองแถวหรือคอลัมน์เท่ากัน หรือองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ (แถว) เป็นศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์ของมันจะเท่ากับศูนย์
- การคูณตัวเลขของเมทริกซ์ด้วยจำนวนใดๆ จะทำให้ดีเทอร์มีแนนต์ของมันเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนเท่าเดิม
การใช้คุณสมบัติด้านบนช่วยให้ค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น การใช้วิธีการลดลำดับสำหรับสิ่งนี้ ซึ่งดีเทอร์มีแนนต์ถูกขยายโดยองค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) คูณด้วยส่วนประกอบเกี่ยวกับพีชคณิต
อีกวิธีหนึ่งที่ทำให้ค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ได้ง่ายขึ้นมาก
เมทริกซ์คือการนำมันมาอยู่ในรูปสามเหลี่ยม เมื่อองค์ประกอบทั้งหมดภายใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์คำนวณเป็นผลคูณของตัวเลขที่อยู่ในแนวทแยงนี้
และสุดท้าย ฉันอยากจะสังเกตว่าการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ แม้ว่าจะประกอบด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนง่าย แต่ต้องใช้ความระมัดระวังและความอุตสาหะมาก