ลอการิทึม: ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

2024 ผู้เขียน: Angel Austin | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-02 17:57

อย่างที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยยกกำลัง เลขชี้กำลังจะรวมกันเสมอ (a^ba^c=a^{b+ c). กฎทางคณิตศาสตร์นี้มาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วิราเซนได้สร้างตารางตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ซึ่งจำเป็นต้องทำให้การคูณที่ยุ่งยากซับซ้อนและบวกง่ายๆ ง่ายขึ้น หากคุณใช้เวลาอ่านบทความนี้ 10 นาที เราจะอธิบายให้คุณทราบว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานกับลอการิทึมได้อย่างไร ภาษาที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้}

นิยามในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ของรูปแบบต่อไปนี้: log_ab=c c" ซึ่งคุณต้องเพิ่มฐาน "a" เพื่อให้ได้ค่า " ข". มาวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีบันทึกนิพจน์_{28 จะหาคำตอบได้อย่างไร? มันง่ายมาก คุณต้องหาระดับที่ต้องการจาก 2 ถึงระดับที่กำหนด คุณจะได้ 8 เมื่อคำนวณในใจแล้ว เราได้เลข 3! และก็จริงเพราะ2 ยกกำลัง 3 ให้คำตอบ 8.}

รูปแบบลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคน หัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ที่จริงแล้ว ลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวขนาดนั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎเกณฑ์บางประการ นิพจน์ลอการิทึมมีสามประเภทแยกกัน:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e=2, 7)
2. ลอการิทึมทศนิยม lg a โดยที่ฐานคือตัวเลข 10
3. ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ถึงฐาน a>1.

แต่ละข้อได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการทำให้เข้าใจง่าย การลดลง และการลดลงที่ตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้อง เราควรจำคุณสมบัติและลำดับของการดำเนินการในการแก้สมการ

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีกฎเกณฑ์-ข้อจำกัดหลายประการที่ยอมรับเป็นสัจธรรม กล่าวคือ ไม่สามารถต่อรองได้และเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะรูทเลขคู่จากจำนวนลบ ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเองอีกด้วย ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้วิธีการทำงานแม้ในนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและกว้างขวาง:

• ฐานของ "a" ต้องมากกว่าศูนย์เสมอ และต้องไม่เท่ากับ 1 ในเวลาเดียวกัน มิฉะนั้น นิพจน์จะสูญเสียความหมายไป เนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดๆ จะเสมอกัน เท่ากับค่าของพวกเขา
• ถ้า > 0 แล้ว ab>0,ปรากฎว่า "c" ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

วิธีแก้ลอการิทึม

ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานเพื่อค้นหาคำตอบของสมการ 10^x=100 ง่ายมาก คุณต้องเลือกพลังดังกล่าว เพิ่มจำนวนสิบ เรา ได้ 100 แน่นอน นี่คือพลังกำลังสอง! 10^2=100.

ตอนนี้ เรามาแทนนิพจน์นี้เป็นแบบลอการิทึม เราได้รับ log_{10100=2 เมื่อแก้ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันเพื่อหากำลังซึ่งต้องป้อนฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด}

หากต้องการทราบค่าของดีกรีที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตารางดีกรี หน้าตาเป็นแบบนี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขชี้กำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสัญชาตญาณถ้าคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตาม ค่าที่มากขึ้นจะต้องใช้ตารางพลังงาน สามารถใช้ได้แม้กระทั่งผู้ที่ไม่เข้าใจอะไรเลยในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนของตัวเลขคือค่าของยกกำลัง c ซึ่งตัวเลข a จะถูกยกขึ้น ที่ทางแยก เซลล์จะกำหนดค่าของตัวเลขที่เป็นคำตอบ (ac=b) ตัวอย่างเช่น เซลล์แรกสุดที่มีตัวเลข 10 และยกกำลังสอง เราได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของเซลล์ทั้งสองของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายและง่ายดายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าเมื่อไรภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ สามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3⁴=81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมของ 81 ถึงฐาน 3 ซึ่งเป็นสี่ (log₃81=4) สำหรับดีกรีลบ กฎจะเหมือนกัน: 2^-5=1/32 เขียนเป็นลอการิทึม เราจะได้ log_{2 (1/32)=-5. หนึ่งในส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะพิจารณาตัวอย่างและคำตอบของสมการให้ต่ำลงเล็กน้อยทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของสมการแล้ว ตอนนี้เรามาดูกันว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นอย่างไรและจะแยกความแตกต่างจากสมการได้อย่างไร}

ให้นิพจน์ต่อไปนี้: log_{2(x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึม เนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ใต้เครื่องหมายของ ลอการิทึม. นิพจน์ยังเปรียบเทียบค่าสองค่า: ลอการิทึมฐานสองของจำนวนที่ต้องการมากกว่าตัวเลขสาม}

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมกับอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (ตัวอย่าง - ลอการิทึม₂x=√9) _{โดยนัย ในคำตอบค่าตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงอย่างน้อยหนึ่งค่าในขณะที่แก้ความไม่เท่าเทียมกันทั้งช่วงของค่าที่ยอมรับได้และจุดสั่งหยุดของฟังก์ชันนี้จะถูกกำหนด ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ อย่างในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข}

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้งานเบื้องต้นเพื่อหาค่าลอการิทึม คุณอาจไม่รู้คุณสมบัติของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ อย่างแรกเลย จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและประยุกต์ใช้คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึมในทางปฏิบัติ ต่อไปเราจะมาทำความรู้จักกับตัวอย่างสมการกัน เรามาวิเคราะห์คุณสมบัติแต่ละอย่างอย่างละเอียดกันก่อน

1. ตัวตนพื้นฐานมีลักษณะดังนี้: alogaB=B. ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับหนึ่ง และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log_d(s₁s_{2)=บันทึก}d_s1 _{+ บันทึก}ds_2. ในกรณีนี้ เงื่อนไขบังคับคือ: d, s₁ และ s₂ > 0; ≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้ได้ พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา ให้ล็อก_as₁ =f₁ และบันทึก_as ₂=f₂ จากนั้น a_f1=s¹, a _f2=s^2. เราเข้าใจแล้วว่า s₁s₂ =a_f1a ^f2=a^f1+f2 (คุณสมบัติระดับ) และเพิ่มเติมตามคำจำกัดความ: บันทึก^a(s₁ s₂)=f₁+ f₂=บันทึก _as1 + บันทึก_as_2, ซึ่งจะถูกพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log_a(s_1/s₂)=บันทึก _as₁- บันทึก_as_2.
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรมีรูปแบบดังต่อไปนี้: log_a^qbⁿ =บันทึก n/q_ab.

สูตรนี้เรียกว่า "คุณสมบัติของดีกรีของลอการิทึม" มันคล้ายกับคุณสมบัติของดีกรีสามัญ และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดอยู่บนสมมุติฐานปกติ ไปดูหลักฐานกันเลย

ปล่อยให้ล็อก_ab=t, เราได้^t=b. หากคุณยกทั้งสองข้างยกกำลัง m: a^tn=b^;

แต่เพราะว่า a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{ดังนั้น log}aq _bn=(nt)/t จากนั้นล็อก^aq ^bn_{=n/q บันทึก}a^{b. ทฤษฎีบทพิสูจน์แล้ว}

ตัวอย่างปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ปัญหาลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมด และยังรวมอยู่ในส่วนบังคับของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย ในการเข้ามหาวิทยาลัยหรือสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือโครงร่างเดียวสำหรับการแก้และกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของลอการิทึม แต่กฎบางอย่างสามารถนำไปใช้กับความไม่เท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดขนาดเป็นรูปแบบทั่วไปได้หรือไม่ คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้ หากคุณใช้คุณสมบัติของนิพจน์ลอการิทึมอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาเร็ว ๆ นี้

เมื่อแก้สมการลอการิทึมจำเป็นต้องกำหนดชนิดของลอการิทึมที่เรามีก่อนเรา: ตัวอย่างของนิพจน์อาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่างลอการิทึมทศนิยม: ln100, ln1026 การแก้ปัญหาของพวกเขาทำให้คุณต้องกำหนดระดับว่าฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1026 ตามลำดับ สำหรับคำตอบของลอการิทึมธรรมชาติ เราต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกมัน มาดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมแบบต่างๆกัน

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ลองมาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถนำมาใช้ในงานที่จำเป็นต้องแยกค่าขนาดใหญ่ของตัวเลข b เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น บันทึก₂4 + บันทึก₂128=บันทึก₂(4128)=บันทึก_{2512. คำตอบคือ 9.}
2. log₄8=บันทึก_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - อย่างที่คุณเห็น ด้วยการใช้คุณสมบัติที่สี่ของดีกรีของลอการิทึม เราจัดการแก้ได้ในแวบแรก นิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้ไม่ได้ สิ่งที่คุณต้องทำคือแยกตัวประกอบฐานแล้วดึงกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม}

งานจากการสอบ

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาลอการิทึมจำนวนมากในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนทุกคน) โดยปกติงานเหล่านี้จะมีอยู่ไม่เฉพาะในส่วน A (ส่วนใหญ่ส่วนการทดสอบง่าย ๆ ของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ยากและใหญ่โตที่สุด) ข้อสอบต้องใช้ความรู้ที่ถูกต้องและสมบูรณ์แบบในหัวข้อ "ลอการิทึมธรรมชาติ"

ตัวอย่างและวิธีแก้ไขปัญหานำมาจากข้อสอบเวอร์ชันทางการ เรามาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

บันทึก₂(2x-1)=4. วิธีแก้ไข:

เขียนนิพจน์ใหม่ ทำให้บันทึกง่ายขึ้นเล็กน้อย_2(2x-1)=22 ^{โดยนิยามของลอการิทึมเราจะได้ว่า 2x-1=2}4 ^{ดังนั้น 2x=17; x=8, 5.}

ทำตามคำแนะนำสองสามข้อ ต่อไปนี้คุณสามารถแก้สมการทั้งหมดที่มีนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมได้อย่างง่ายดาย

• ควรลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกัน เพื่อไม่ให้การแก้ปัญหายุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะถูกระบุเป็นบวก ดังนั้นเมื่อคูณเลขชี้กำลังของนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและเป็นฐาน นิพจน์ที่เหลือภายใต้ลอการิทึมต้องเป็นบวก