การรู้ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบหรือเป็นเส้นตรงทำให้คุณสามารถคำนวณปริมาตรและพื้นที่ผิวของตัวเลขในอวกาศได้ การคำนวณระยะทางในเรขาคณิตนี้ดำเนินการโดยใช้สมการที่สอดคล้องกันสำหรับวัตถุเรขาคณิตที่ระบุ ในบทความเราจะแสดงสูตรที่สามารถใช้ตัดสินได้
สมการเส้นตรงและระนาบ
ก่อนที่จะให้สูตรสำหรับกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกระนาบและไปยังเส้น เรามาดูว่าสมการใดอธิบายวัตถุเหล่านี้ก่อน
ในการกำหนดจุด จะใช้ชุดพิกัดในระบบพิกัดที่กำหนด ที่นี่เราจะพิจารณาเฉพาะระบบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนซึ่งแกนมีเวกเตอร์หน่วยเดียวกันและตั้งฉากกัน บนเครื่องบิน จุดใดจุดหนึ่งถูกอธิบายโดยพิกัดสองจุดในอวกาศ - คูณสาม
สมการประเภทต่างๆ ใช้สำหรับกำหนดเส้นตรง ตามหัวข้อของบทความเราขอนำเสนอมีเพียงสองอันเท่านั้นซึ่งใช้ในพื้นที่สองมิติเพื่อกำหนดบรรทัด
สมการเวกเตอร์. มันมีสัญกรณ์ต่อไปนี้:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
เทอมแรกในที่นี้แทนพิกัดของจุดที่ทราบซึ่งวางอยู่บนเส้น เทอมที่สองคือพิกัดเวกเตอร์ทิศทางคูณด้วยจำนวนใด ๆ λ
สมการทั่วไป. สัญกรณ์เป็นดังนี้:
Ax + By + C=0;
โดยที่ A, B, C เป็นสัมประสิทธิ์บางตัว
สมการทั่วไปมักใช้เพื่อกำหนดเส้นบนระนาบ อย่างไรก็ตาม การหาระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นบนระนาบ จะสะดวกกว่าถ้าใช้นิพจน์เวกเตอร์
ระนาบในพื้นที่สามมิติสามารถเขียนได้หลายวิธีทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ในปัญหาส่วนใหญ่มักมีสมการทั่วไปซึ่งเขียนดังนี้:
Ax + By + Cz + D=0.
ข้อดีของสัญกรณ์นี้เมื่อเทียบกับส่วนอื่นๆ คือ มันมีพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบอย่างชัดเจน เวกเตอร์นี้เรียกว่าไกด์ มันตรงกับทิศทางปกติ และพิกัดเท่ากับ (A; B; C)
โปรดทราบว่านิพจน์ข้างต้นตรงกับรูปแบบการเขียนสมการทั่วไปสำหรับเส้นตรงในพื้นที่สองมิติ ดังนั้นเมื่อแก้ปัญหา คุณควรระวังอย่าให้วัตถุเรขาคณิตเหล่านี้สับสน
ระยะห่างระหว่างจุดและเส้น
มาดูวิธีคำนวนระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับชี้ในช่องว่างสองมิติ
ปล่อยให้มีบางจุด Q(x1; y1) และบรรทัดที่กำหนดโดย:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
ระยะห่างระหว่างเส้นกับจุดจะเข้าใจว่าเป็นความยาวของส่วนที่ตั้งฉากกับเส้นนี้ ลดลงจากจุด Q.
ก่อนคำนวณระยะทางนี้ คุณควรแทนที่พิกัด Q ลงในสมการนี้ หากพวกเขาตอบสนอง Q จะเป็นของเส้นที่กำหนดและระยะทางที่สอดคล้องกันจะเท่ากับศูนย์ หากพิกัดของจุดไม่นำไปสู่ความเท่าเทียมกัน ระยะห่างระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตจะไม่เป็นศูนย์ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
ที่นี่ P คือจุดใดจุดหนึ่งของเส้นตรง ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ PQ¯ เวกเตอร์ u¯ เป็นส่วนนำสำหรับเส้นตรง นั่นคือ พิกัดของมันคือ (a; b).
การใช้สูตรนี้จำเป็นต้องมีความสามารถในการคำนวณผลคูณในตัวเศษ
ปัญหาเกี่ยวกับจุดและเส้น
สมมติว่าคุณต้องหาระยะห่างระหว่าง Q(-3; 1) กับเส้นตรงที่ตรงกับสมการ:
y=5x -2.
แทนที่พิกัดของ Q เป็นนิพจน์ เราสามารถแน่ใจว่า Q ไม่ได้อยู่บนเส้น คุณสามารถใช้สูตรสำหรับ d ที่ระบุในย่อหน้าด้านบน ถ้าคุณแสดงสมการนี้ในรูปแบบเวกเตอร์ ลองทำแบบนี้:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
เอาจุดใดก็ได้ในบรรทัดนี้ เช่น (0; -2) และสร้างเวกเตอร์โดยเริ่มจากจุดนั้นและสิ้นสุดที่ Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
ตอนนี้ใช้สูตรกำหนดระยะทาง เราได้:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
ระยะทางจากจุดไปยังเครื่องบิน
ในกรณีของเส้นตรง ระยะห่างระหว่างระนาบกับจุดในอวกาศจะเข้าใจว่าเป็นความยาวของส่วน ซึ่งจากจุดที่กำหนดจะถูกลดระดับในแนวตั้งฉากกับระนาบและตัดกับมัน
ในอวกาศ จุดถูกกำหนดโดยสามพิกัด หากมีค่าเท่ากับ (x1; y1; z1) ดังนั้นระยะห่างระหว่าง ระนาบและจุดนั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
โปรดทราบว่าการใช้สูตรช่วยให้คุณค้นหาระยะทางจากระนาบไปยังเส้นเท่านั้น ในการหาพิกัดของจุดที่ส่วนตั้งฉากตัดกับระนาบ จำเป็นต้องเขียนสมการสำหรับเส้นที่ส่วนนี้อยู่ จากนั้นหาจุดร่วมของเส้นนี้และระนาบที่กำหนด
ปัญหาเกี่ยวกับเครื่องบินและจุด
ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเครื่องบินหากทราบว่าจุดนั้นมีพิกัด (3; -1; 2) และเครื่องบินถูกกำหนดโดย:
-y + 3z=0.
หากต้องการใช้สูตรที่สอดคล้องกัน ก่อนอื่นให้เขียนค่าสัมประสิทธิ์ของให้เครื่องบิน เนื่องจากไม่มีตัวแปร x และพจน์ว่าง สัมประสิทธิ์ A และ D จึงเท่ากับศูนย์ เรามี:
A=0; ข=-1; ค=3; D=0.
มันง่ายที่จะแสดงว่าระนาบนี้ผ่านจุดกำเนิดและแกน x เป็นของระนาบ
เปลี่ยนพิกัดของจุดและสัมประสิทธิ์ของระนาบเป็นสูตรสำหรับระยะทาง d เราจะได้:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
โปรดทราบว่าหากคุณเปลี่ยนพิกัด x ของจุด ระยะทาง d จะไม่เปลี่ยนแปลง ข้อเท็จจริงนี้หมายความว่าเซตของจุด (x; -1; 2) สร้างเส้นตรงขนานกับระนาบที่กำหนด