ในเรขาคณิต ใช้ลักษณะสำคัญสองประการในการศึกษาตัวเลข: ความยาวของด้านและมุมระหว่างพวกเขา ในกรณีของตัวเลขเชิงพื้นที่ มุมไดฮีดรัลจะถูกเพิ่มเข้ากับคุณลักษณะเหล่านี้ ลองพิจารณาว่ามันคืออะไร และอธิบายวิธีการกำหนดมุมเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดด้วย
แนวคิดของมุมไดเฮดรัล
ทุกคนรู้ว่าเส้นตัดสองเส้นสร้างมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดตัดกัน มุมนี้สามารถวัดได้ด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ หรือคุณสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการคำนวณก็ได้ มุมที่เกิดจากมุมฉากสองมุมเรียกว่าเส้นตรง
ลองนึกภาพว่าในพื้นที่สามมิติมีระนาบสองระนาบที่ตัดกันเป็นเส้นตรง แสดงในภาพ
มุมไดฮีดรัลคือมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันสองระนาบ เช่นเดียวกับเชิงเส้น วัดเป็นองศาหรือเรเดียน ถ้าถึงจุดใดของเส้นตรงที่ระนาบตัดกัน ให้ปรับตั้งฉากสองเส้นนอนอยู่ในระนาบเหล่านี้จากนั้นมุมระหว่างพวกเขาจะเป็นไดฮีดรัลที่ต้องการ วิธีที่ง่ายที่สุดในการหามุมนี้คือการใช้สมการทั่วไปของระนาบ
สมการระนาบกับสูตรมุมระหว่างพวกมัน
สมการของระนาบใดๆ ในอวกาศโดยทั่วไปเขียนได้ดังนี้:
A × x + B × y + C × z + D=0.
ที่นี่ x, y, z คือพิกัดของจุดที่อยู่บนระนาบ สัมประสิทธิ์ A, B, C, D เป็นตัวเลขที่ทราบ ความสะดวกของความเท่าเทียมกันในการคำนวณมุมไดเฮดรัลคือมันประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของระนาบอย่างชัดเจน เราจะเขียนแทนด้วย n¯ จากนั้น:
n¯=(A; B; C).
เวกเตอร์ n¯ ตั้งฉากกับระนาบ มุมระหว่างระนาบสองระนาบเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง n1¯ และ n2¯ เป็นที่ทราบกันดีจากคณิตศาสตร์ว่ามุมที่เกิดจากเวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงจากผลคูณสเกลาร์ของพวกมัน สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับคำนวณมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบสองระนาบ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
ถ้าเราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์ สูตรจะถูกเขียนอย่างชัดเจน:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
เครื่องหมายโมดูโลในตัวเศษใช้เพื่อกำหนดมุมแหลมเท่านั้น เนื่องจากมุมไดฮีดรัลจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 90 เสมอo.
ปิรามิดและมุมปิรามิด
พีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม n-gon และ n หนึ่งรูป โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มเท่ากับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นฐานของปิรามิด รูปทรงเชิงพื้นที่นี้เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงหลายเหลี่ยม เนื่องจากประกอบด้วยหน้าแบน (ด้านข้าง)
มุม dihedral ของพีระมิด-รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถเป็นสองประเภท:
- ระหว่างฐานกับข้าง (สามเหลี่ยม);
- ระหว่างสองข้าง
ถ้าพีระมิดถือว่าปกติก็ง่ายที่จะกำหนดมุมที่มีชื่อของพีระมิด ในการทำเช่นนี้ โดยใช้พิกัดของจุดที่รู้จักสามจุด เราควรสร้างสมการระนาบ แล้วใช้สูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าด้านบนสำหรับมุม φ
ด้านล่าง เราจะยกตัวอย่างซึ่งเราจะแสดงวิธีหามุมไดเฮดรัลที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมธรรมดา
พีระมิดธรรมดารูปสี่เหลี่ยมและมุมที่ฐาน
สมมติว่าพีระมิดปกติที่มีฐานสี่เหลี่ยมจะได้รับ ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ a ความสูงของรูปคือ h หามุมระหว่างฐานของปิรามิดกับด้านข้าง
เอาจุดกำเนิดของระบบพิกัดมาวางตรงกลางสี่เหลี่ยม แล้วพิกัดของจุดA, B, C, D ที่แสดงในภาพจะเป็น:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
พิจารณาเครื่องบิน ACB และ ADB เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ทิศทาง n1¯ สำหรับเครื่องบิน ACB จะเป็น:
1¯=(0; 0; 1).
ในการหาเวกเตอร์ทิศทาง n2¯ ของระนาบ ADB ให้ดำเนินการดังนี้: ค้นหาเวกเตอร์ตามอำเภอใจสองตัวที่เป็นของระนาบดังกล่าว เช่น AD¯ และ AB¯ แล้วคำนวณงานเวกเตอร์ของพวกเขา ผลลัพธ์จะให้พิกัด n2¯ เรามี:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
เนื่องจากการคูณและการหารของเวกเตอร์ด้วยตัวเลขไม่เปลี่ยนทิศทาง เราจึงแปลงผลลัพธ์ที่ได้ n2¯ หารพิกัดด้วย -a เราจะได้
2¯=(h; 0; a/2).
เราได้กำหนดเวคเตอร์ไกด์ n1¯ และ n2¯ สำหรับฐาน ACB และเครื่องบินด้านข้างของ ADB ยังคงใช้สูตรสำหรับมุม φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
แปลงนิพจน์ผลลัพธ์และเขียนใหม่ดังนี้:
ฟาย=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
เราได้สูตรสำหรับมุมไดฮีดรัลที่ฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติแล้ว เมื่อทราบความสูงของร่างและความยาวของด้านข้างแล้ว คุณสามารถคำนวณมุม φ ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับปิรามิดแห่ง Cheops ซึ่งด้านฐานคือ 230.4 เมตร และความสูงเริ่มต้นคือ 146.5 เมตร มุม φ จะเป็น 51.8o.
นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดมุมไดฮีดรัลสำหรับปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมธรรมดาโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตได้อีกด้วย การทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากความสูง h ความยาวของฐาน a/2 ครึ่งหนึ่ง และเส้นตั้งฉากของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว