Georg Kantor (มีรูปภาพเพิ่มเติมในบทความ) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้สร้างทฤษฎีเซตและแนะนำแนวคิดของจำนวนอนันต์ซึ่งใหญ่มากแต่แตกต่างกัน เขายังกำหนดเลขลำดับและเลขคาร์ดินัลและสร้างเลขคณิตของพวกมัน
จอร์จ คันทอร์: ชีวประวัติสั้น
เกิดที่เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก วันที่ 1845-03-03 พ่อของเขาเป็นชาวเดนมาร์กแห่งลัทธิโปรเตสแตนต์ Georg-Valdemar Kantor ซึ่งประกอบอาชีพการค้าขายรวมทั้งในตลาดหลักทรัพย์ มารดาของเขา มาเรีย เบมเป็นชาวคาทอลิกและมาจากครอบครัวนักดนตรีที่มีชื่อเสียง เมื่อพ่อของจอร์จล้มป่วยในปี พ.ศ. 2399 ครอบครัวย้ายไปวีสบาเดินก่อนแล้วจึงไปแฟรงก์เฟิร์ตเพื่อค้นหาสภาพอากาศที่ร้อนกว่า ความสามารถทางคณิตศาสตร์ของเด็กชายปรากฏตัวขึ้นก่อนวันเกิดอายุ 15 ปีของเขาขณะศึกษาอยู่ที่โรงเรียนเอกชนและโรงยิมในดาร์มสตัดท์และวีสบาเดิน ในท้ายที่สุด Georg Cantor ได้โน้มน้าวให้พ่อของเขาเชื่อว่าเขาตั้งใจที่จะเป็นนักคณิตศาสตร์ ไม่ใช่วิศวกร
หลังจากการศึกษาสั้น ๆ ที่มหาวิทยาลัยซูริก ในปี พ.ศ. 2406 คันทอร์ย้ายไปเรียนที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลินเพื่อศึกษาฟิสิกส์ ปรัชญา และคณิตศาสตร์ มีเขาสอน:
- Karl Theodor Weierstrass ซึ่งความเชี่ยวชาญด้านการวิเคราะห์อาจมีอิทธิพลมากที่สุดต่อ Georg;
- เอินส์ท เอดูอาร์ คุมเมอร์ ผู้สอนวิชาคณิตขั้นสูง
- เลียวโปลด์ โครเนคเกอร์ นักทฤษฎีตัวเลขซึ่งต่อมาต่อต้านต้นเสียง
หลังจากใช้เวลาหนึ่งภาคเรียนที่มหาวิทยาลัย Göttingen ในปี 1866 ปีต่อมา Georg ได้เขียนวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาในหัวข้อ "ในทางคณิตศาสตร์ ศิลปะแห่งการถามคำถามมีค่ามากกว่าการแก้ปัญหา" เกี่ยวกับปัญหาที่ Carl Friedrich Gauss มี ยังไม่ได้รับการแก้ไขใน Disquisitiones Arithmeticae (1801) ของเขา หลังจากสอนที่โรงเรียนสำหรับเด็กผู้หญิงในเบอร์ลินได้ครู่หนึ่ง คันทอร์เริ่มทำงานที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอ ซึ่งเขาอยู่ไปจนชั่วชีวิต อันดับแรกในฐานะครู ตั้งแต่ปี 1872 เป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ และตั้งแต่ปี 1879 เป็นศาสตราจารย์
วิจัย
ในตอนต้นของบทความจำนวน 10 ชุดระหว่างปี 1869 ถึง 1873 Georg Cantor ได้พิจารณาทฤษฎีจำนวน งานนี้สะท้อนถึงความหลงใหลในเรื่องนี้ การศึกษาเกี่ยวกับเกาส์ และอิทธิพลของโครเนคเกอร์ ตามคำแนะนำของ Heinrich Eduard Heine เพื่อนร่วมงานของ Cantor ใน Halle ซึ่งรู้จักความสามารถทางคณิตศาสตร์ของเขา เขาจึงหันไปใช้ทฤษฎีอนุกรมตรีโกณมิติ ซึ่งเขาได้ขยายแนวคิดเรื่องจำนวนจริง
จากงานเกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Bernhard Riemann ในปี 1854 ในปี 1870 Kantor แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงได้ทางเดียวเท่านั้น - โดยอนุกรมตรีโกณมิติ การพิจารณาชุดของตัวเลข (จุด) ที่จะไม่ขัดแย้งกับมุมมองดังกล่าว ประการแรก ในปี พ.ศ. 2415 ได้ให้คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะในแง่ของลำดับการบรรจบกันของจำนวนตรรกยะ (เศษส่วนของจำนวนเต็ม) และต่อไปยังจุดเริ่มต้นของงานในชีวิตของเขา ทฤษฎีเซต และแนวคิด ของจำนวนอนันต์
ทฤษฎีเซต
Georg Cantor ซึ่งทฤษฎีเซตมีต้นกำเนิดมาจากการติดต่อกับนักคณิตศาสตร์ของสถาบันเทคนิคแห่ง Braunschweig Richard Dedekind เป็นเพื่อนของเขามาตั้งแต่เด็ก พวกเขาสรุปว่าเซต ไม่ว่าจะมีจำกัดหรืออนันต์ เป็นชุดขององค์ประกอบ (เช่น ตัวเลข {0, ±1, ±2…}) ที่มีคุณสมบัติบางอย่างในขณะที่ยังคงความเป็นตัวของตัวเองไว้ แต่เมื่อจอร์จ คันทอร์ใช้การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (เช่น {A, B, C} ถึง {1, 2, 3}) เพื่อศึกษาลักษณะเฉพาะ เขาก็ตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่าระดับการเป็นสมาชิกต่างกัน ถ้าพวกมันเป็นเซตอนันต์, เช่น ชุด, ส่วนหนึ่งหรือเซตย่อยที่มีอ็อบเจกต์มากเท่าตัวมันเอง วิธีการของเขาให้ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์ในไม่ช้า
ในปี พ.ศ. 2416 Georg Cantor (นักคณิตศาสตร์) แสดงให้เห็นว่าจำนวนตรรกยะถึงแม้จะเป็นอนันต์ก็สามารถนับได้เพราะสามารถใส่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งด้วยจำนวนธรรมชาติ (เช่น 1, 2, 3 เป็นต้น) ง.) เขาแสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนจริงซึ่งประกอบด้วยจำนวนอตรรกยะและตรรกยะ เป็นอนันต์และนับไม่ได้ ขัดแย้งกันมากขึ้น ต้นเสียงได้พิสูจน์ว่าเซตของตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดประกอบด้วยองค์ประกอบมากเท่ากับเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นจำนวนเท่าใด และจำนวนอนันต์นั้นซึ่งไม่ใช่พีชคณิตซึ่งเป็นเซตย่อยของจำนวนอตรรกยะ นั้นนับไม่ได้ ดังนั้นจำนวนของพวกมันจึงมากกว่าจำนวนเต็ม และควรถือเป็นอนันต์
ฝ่ายตรงข้ามและผู้สนับสนุน
แต่บทความของ Kantor ซึ่งเป็นครั้งแรกที่เขานำเสนอผลลัพธ์เหล่านี้ ไม่ได้ตีพิมพ์ใน Krell เนื่องจาก Kronecker หนึ่งในผู้วิจารณ์ถูกคัดค้านอย่างรุนแรง แต่หลังจากการแทรกแซงของ Dedekind มันถูกตีพิมพ์ในปี 1874 ภายใต้ชื่อ "เกี่ยวกับคุณสมบัติเฉพาะของตัวเลขพีชคณิตจริงทั้งหมด"
วิทยาศาสตร์กับชีวิตส่วนตัว
เยน เงินเดือนของจอร์จมีน้อย แต่ด้วยเงินของบิดาซึ่งเสียชีวิตในปี 2406 เขาจึงสร้างบ้านให้ภรรยาและลูกห้าคน บทความหลายชิ้นของเขาได้รับการตีพิมพ์ในสวีเดนในวารสาร Acta Mathematica ฉบับใหม่ ซึ่งแก้ไขและก่อตั้งโดย Gesta Mittag-Leffler ซึ่งเป็นคนกลุ่มแรกๆ ที่ยกย่องความสามารถของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน
การเชื่อมต่อกับอภิปรัชญา
ทฤษฎีของต้นเสียงกลายเป็นหัวข้อใหม่ของการศึกษาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของอนันต์ (เช่น ชุดที่ 1, 2, 3 เป็นต้น และเซตที่ซับซ้อนมากขึ้น) ซึ่งขึ้นอยู่กับการติดต่อแบบตัวต่อตัวเป็นอย่างมาก การพัฒนาวิธีการจัดเตรียมแบบใหม่ของ Kantorคำถามเกี่ยวกับความต่อเนื่องและความไม่มีที่สิ้นสุดทำให้งานวิจัยของเขามีความคลุมเครือ
เมื่อเขาโต้เถียงว่าจำนวนอนันต์มีอยู่จริง เขาหันไปหาปรัชญาในสมัยโบราณและยุคกลางเกี่ยวกับความเป็นอนันต์ที่แท้จริงและศักยภาพ เช่นเดียวกับการศึกษาศาสนาในยุคแรกๆ ที่พ่อแม่มอบให้เขา ในปี 1883 ในหนังสือของเขา Foundations of General Set Theory Kantor ได้รวมแนวคิดของเขาเข้ากับอภิปรัชญาของเพลโต
Kronecker ผู้ซึ่งอ้างว่ามีเพียงจำนวนเต็ม “มีอยู่จริง” (“พระเจ้าสร้างจำนวนเต็ม ส่วนที่เหลือเป็นผลงานของมนุษย์”) เป็นเวลาหลายปีปฏิเสธเหตุผลของเขาอย่างรุนแรงและขัดขวางการแต่งตั้งของเขาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน
ตัวเลขทรานสฟินิตี้
ใน พ.ศ. 2438-2540. Georg Cantor ได้สร้างแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องและอนันต์อย่างสมบูรณ์ ซึ่งรวมถึงเลขลำดับและจำนวนนับอนันต์ ในงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของเขา ซึ่งตีพิมพ์ในชื่อ Contribution to the Establishment of the Theory of Transfinite Numbers (1915) บทความนี้มีแนวคิดของเขา ซึ่งเขานำโดยแสดงให้เห็นว่าชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถใส่ในการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชุดย่อยชุดใดชุดหนึ่งได้
ภายใต้จำนวนคาร์ดินัลที่น้อยที่สุด เขาหมายถึงคาร์ดินัลลิตี้ของเซตใด ๆ ที่สามารถใส่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งด้วยจำนวนธรรมชาติ ต้นเสียงเรียกมันว่า aleph-null เซตทรานสฟินิตี้ขนาดใหญ่เขียนแทน aleph-one, aleph-two ฯลฯ เขาได้พัฒนาเลขคณิตของจำนวนทรานสิกต์เพิ่มเติม ซึ่งคล้ายกับเลขคณิตจำกัด ดังนั้นเขาเติมเต็มแนวคิดของอินฟินิตี้
การต่อต้านที่เขาเผชิญและเวลาที่ความคิดของเขาได้รับการยอมรับอย่างเต็มที่นั้นเกิดจากความยากลำบากในการประเมินคำถามโบราณว่าตัวเลขคืออะไร ต้นเสียงแสดงให้เห็นว่าเซตของคะแนนบนเส้นหนึ่งมีคาร์ดินาลลิตี้ที่สูงกว่า aleph-zero สิ่งนี้นำไปสู่ปัญหาที่รู้จักกันดีของสมมติฐานต่อเนื่อง - ไม่มีตัวเลขสำคัญระหว่าง aleph-zero กับพลังของจุดบนเส้น ปัญหานี้ในครึ่งแรกและครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 กระตุ้นความสนใจอย่างมากและได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์หลายคน รวมถึง Kurt Gödel และ Paul Cohen
อาการซึมเศร้า
ชีวประวัติของ Georg Kantor ตั้งแต่ปี 1884 ถูกบดบังด้วยความเจ็บป่วยทางจิต แต่เขายังคงทำงานอย่างแข็งขัน ในปี พ.ศ. 2440 เขาช่วยจัดการประชุมทางคณิตศาสตร์ระดับนานาชาติครั้งแรกในเมืองซูริก ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเขาถูกต่อต้านจากโครเนคเกอร์ เขามักจะเห็นอกเห็นใจนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่และพยายามหาวิธีที่จะช่วยพวกเขาให้พ้นจากการล่วงละเมิดของครูที่รู้สึกว่าถูกคุกคามด้วยแนวคิดใหม่
การรับรู้
ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษ งานของเขาได้รับการยอมรับว่าเป็นพื้นฐานสำหรับทฤษฎีฟังก์ชัน การวิเคราะห์ และโทโพโลยี นอกจากนี้หนังสือของ Cantor Georg ยังทำหน้าที่เป็นแรงผลักดันสำหรับการพัฒนาต่อไปของโรงเรียนเกี่ยวกับสัญชาตญาณและผู้ที่เป็นทางการเกี่ยวกับรากฐานทางตรรกะของคณิตศาสตร์ สิ่งนี้เปลี่ยนระบบการสอนอย่างมีนัยสำคัญและมักเกี่ยวข้องกับ "คณิตศาสตร์ใหม่"
ในปี 1911 คันทอร์เป็นหนึ่งในผู้ที่ได้รับเชิญให้ไปเฉลิมฉลองครบรอบ 500 ปีมหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูในสกอตแลนด์ เขาไปที่นั่นด้วยความหวังว่าจะได้พบกับเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ ซึ่งในงานตีพิมพ์ล่าสุดของเขา Principia Mathematica ได้กล่าวถึงนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันซ้ำแล้วซ้ำเล่า แต่สิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น มหาวิทยาลัยได้มอบปริญญากิตติมศักดิ์แก่คันทอร์ แต่เนื่องจากอาการป่วยทำให้เขาไม่สามารถรับรางวัลด้วยตนเองได้
คันเตอร์เกษียณในปี 2456 อยู่อย่างยากจนข้นแค้นและอดอยากในช่วงสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง การเฉลิมฉลองเพื่อเป็นเกียรติแก่วันเกิดครบรอบ 70 ปีของเขาในปี 2458 ถูกยกเลิกเนื่องจากสงคราม แต่มีพิธีเล็ก ๆ เกิดขึ้นที่บ้านของเขา เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 1918-06-01 ที่ Halle ในโรงพยาบาลจิตเวช ซึ่งเขาใช้เวลาหลายปีสุดท้ายของชีวิต
จอร์จ คันทอร์: ชีวประวัติ. ครอบครัว
9 สิงหาคม 2417 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันแต่งงานกับ Wally Gutmann ทั้งคู่มีลูกชาย 4 คนและลูกสาว 2 คน ลูกคนสุดท้ายเกิดในปี พ.ศ. 2429 ในบ้านหลังใหม่ที่ Kantor ซื้อมา มรดกของบิดาช่วยให้เขาเลี้ยงดูครอบครัวได้ สุขภาพของคันทอร์ได้รับผลกระทบอย่างมากจากการเสียชีวิตของลูกชายคนสุดท้องในปี พ.ศ. 2442 และภาวะซึมเศร้าก็ไม่ทิ้งเขาตั้งแต่นั้นมา
