เลขคณิตคืออะไร? มนุษยชาติเริ่มใช้ตัวเลขและทำงานกับมันเมื่อใด รากของแนวคิดในชีวิตประจำวันเช่นตัวเลข เศษส่วน การลบ การบวก และการคูณ ซึ่งบุคคลได้ทำให้ส่วนที่แยกออกไม่ได้ของชีวิตและโลกทัศน์ของเขาไปอยู่ที่ไหน ชาวกรีกโบราณชื่นชมวิทยาศาสตร์ เช่น คณิตศาสตร์ เลขคณิต และเรขาคณิต ว่าเป็นซิมโฟนีที่สวยงามที่สุดของตรรกะของมนุษย์
คณิตศาสตร์อาจไม่ลึกเท่าศาสตร์อื่นๆ แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับพวกเขาถ้าลืมตารางสูตรคูณเบื้องต้น? การคิดเชิงตรรกะที่เป็นนิสัยสำหรับเราโดยใช้ตัวเลข เศษส่วน และเครื่องมืออื่นๆ ไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับผู้คน และบรรพบุรุษของเราไม่สามารถเข้าถึงได้เป็นเวลานาน อันที่จริง ก่อนการพัฒนาเลขคณิต ไม่มีความรู้ของมนุษย์ใดที่เป็นวิทยาศาสตร์อย่างแท้จริง
เลขคณิตคือ ABC ของคณิตศาสตร์
เลขคณิตคือศาสตร์แห่งตัวเลข ซึ่งใครๆ ก็เริ่มทำความคุ้นเคยกับโลกอันน่าทึ่งของคณิตศาสตร์ ดังที่ M. V. Lomonosov กล่าวไว้ว่า เลขคณิตคือประตูแห่งการเรียนรู้ ซึ่งเป็นการเปิดทางสู่ความรู้ทางโลกสำหรับเรา แต่เขาพูดถูกความรู้ทางโลกสามารถแยกออกจากความรู้เรื่องตัวเลขและตัวอักษร คณิตศาสตร์ และคำพูดได้หรือไม่? บางทีในสมัยก่อน แต่ไม่ใช่ในโลกสมัยใหม่ที่การพัฒนาอย่างรวดเร็วของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีกำหนดกฎหมายของตัวเอง
คำว่า "เลขคณิต" (กรีก "เลขคณิต") ที่มาจากภาษากรีก แปลว่า "ตัวเลข" เธอศึกษาตัวเลขและทุกอย่างที่สามารถเชื่อมโยงกับพวกเขาได้ นี่คือโลกแห่งตัวเลข: การดำเนินการต่างๆ เกี่ยวกับตัวเลข กฎตัวเลข การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคูณ การลบ ฯลฯ
เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าเลขคณิตเป็นก้าวแรกของคณิตศาสตร์และเป็นรากฐานที่มั่นคงสำหรับส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น พีชคณิต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ชั้นสูง เป็นต้น
วัตถุหลักของเลขคณิต
พื้นฐานของเลขคณิตคือจำนวนเต็ม คุณสมบัติและรูปแบบต่างๆ ได้รับการพิจารณาในทฤษฎีเลขคณิตหรือตัวเลขที่สูงขึ้น อันที่จริง ความแข็งแกร่งของทั้งอาคาร - คณิตศาสตร์ - ขึ้นอยู่กับวิธีการที่ถูกต้องในการพิจารณาบล็อกเล็ก ๆ เป็นตัวเลขธรรมชาติ
ดังนั้น คำถามที่ว่าเลขคณิตคืออะไรตอบได้ง่ายๆ มันคือศาสตร์แห่งตัวเลข ใช่ เกี่ยวกับกลุ่มเจ็ด เก้าคนปกติ และชุมชนที่มีความหลากหลายทั้งหมดนี้ และเช่นเดียวกับที่คุณไม่สามารถเขียนได้ดีหรือแม้แต่บทกวีที่ธรรมดาที่สุดโดยไม่มีตัวอักษรพื้นฐาน คุณก็ไม่สามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้โดยไม่มีเลขคณิต นั่นคือเหตุผลที่วิทยาศาสตร์ทั้งหมดก้าวหน้าหลังจากการพัฒนาเลขคณิตและคณิตศาสตร์เท่านั้น ก่อนหน้านั้นเป็นเพียงสมมติฐานเท่านั้น
เลขคณิตคือศาสตร์สมมุติ
เลขคณิตคืออะไร - วิทยาศาสตร์ธรรมชาติหรือภูตผี? ที่จริง ตามที่นักปรัชญากรีกโบราณโต้เถียงกัน ไม่มีตัวเลขหรือตัวเลขในความเป็นจริง นี่เป็นเพียงภาพหลอนที่สร้างขึ้นในความคิดของมนุษย์เมื่อพิจารณาถึงสิ่งแวดล้อมด้วยกระบวนการของมัน แท้จริงแล้วตัวเลขคืออะไร? ไม่มีที่ไหนแถวๆ นี้ที่เราเห็นอะไรแบบนั้นที่สามารถเรียกว่าตัวเลขได้ แต่ตัวเลขเป็นวิธีของจิตใจมนุษย์ในการศึกษาโลก หรืออาจจะเป็นการศึกษาตัวเราเองจากภายใน? นักปรัชญาได้โต้เถียงกันเกี่ยวกับเรื่องนี้มาเป็นเวลาหลายศตวรรษติดต่อกัน ดังนั้นเราจึงไม่ดำเนินการที่จะให้คำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เลขคณิตได้เข้ามาแทนที่อย่างแน่นหนาว่าในโลกสมัยใหม่จะไม่มีใครถูกมองว่าเข้าสังคมโดยไม่รู้พื้นฐานของมัน
จำนวนธรรมชาติปรากฏอย่างไร
แน่นอน วัตถุหลักที่เลขคณิตดำเนินการคือจำนวนธรรมชาติ เช่น 1, 2, 3, 4, …, 152… เป็นต้น เลขคณิตของจำนวนธรรมชาติเป็นผลมาจากการนับวัตถุธรรมดา เช่น วัวในทุ่งหญ้า ถึงกระนั้น คำจำกัดความของคำว่า "มาก" หรือ "น้อย" ก็เคยใช้ไม่ได้กับผู้คนแล้ว และพวกเขาก็ต้องคิดค้นเทคนิคการนับขั้นสูงขึ้น
แต่ความก้าวหน้าที่แท้จริงเกิดขึ้นเมื่อความคิดของมนุษย์ถึงจุดที่สามารถกำหนด 2 กิโลกรัมและอิฐ 2 ก้อนและ 2 ส่วนที่มีตัวเลข "สอง" เท่ากัน ความจริงก็คือคุณต้องนามธรรมจากรูปแบบ คุณสมบัติ และความหมายของวัตถุ จากนั้นคุณสามารถดำเนินการบางอย่างกับวัตถุเหล่านี้ในรูปแบบของตัวเลขธรรมชาติ จึงเกิดเป็นเลขคณิตซึ่งพัฒนาและขยายต่อไป ครอบครองตำแหน่งที่ยิ่งใหญ่กว่าในชีวิตของสังคม
แนวคิดเชิงลึกของจำนวนที่เป็นศูนย์และจำนวนลบ, เศษส่วน, การกำหนดตัวเลขด้วยตัวเลขและในรูปแบบอื่นๆ มีประวัติการพัฒนาที่สมบูรณ์และน่าสนใจ
อียิปต์เลขคณิตและเชิงปฏิบัติ
สองสหายมนุษย์ที่เก่าแก่ที่สุดในการสำรวจโลกรอบตัวเราและแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันคือเลขคณิตและเรขาคณิต
เชื่อกันว่าประวัติศาสตร์ของเลขคณิตมีต้นกำเนิดมาจากตะวันออกโบราณ ในอินเดีย อียิปต์ บาบิโลน และจีน ดังนั้นต้นปาปิรัส Rinda ที่มีต้นกำเนิดจากอียิปต์ (ตั้งชื่อเพราะเป็นเจ้าของชื่อเดียวกัน) ย้อนหลังไปถึงศตวรรษที่ 20 BC นอกเหนือจากข้อมูลอันมีค่าอื่น ๆ แล้ว ยังมีการขยายเศษส่วนหนึ่งเป็นผลรวมของเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันและตัวเศษเท่ากับหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
แต่ประเด็นของการย่อยสลายที่ซับซ้อนเช่นนี้คืออะไร? ความจริงก็คือวิธีการของอียิปต์ไม่ยอมให้ความคิดนามธรรมเกี่ยวกับตัวเลขตรงกันข้ามการคำนวณทำขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติเท่านั้น นั่นคือชาวอียิปต์จะมีส่วนร่วมในสิ่งที่เป็นการคำนวณเพื่อสร้างสุสานเท่านั้น จำเป็นต้องคำนวณความยาวของขอบของโครงสร้าง และสิ่งนี้ทำให้คนๆ หนึ่งต้องนั่งข้างหลังต้นกก อย่างที่คุณเห็น ความก้าวหน้าในการคำนวณของอียิปต์เกิดจากการก่อสร้างจำนวนมากมากกว่าความรักในวิทยาศาสตร์
ด้วยเหตุนี้ การคำนวณที่พบในต้นปาปิริจึงไม่สามารถเรียกว่าการสะท้อนในหัวข้อเศษส่วนได้ เป็นไปได้มากว่านี่เป็นการเตรียมการที่เป็นประโยชน์ในอนาคตแก้ปัญหาเรื่องเศษส่วน ชาวอียิปต์โบราณที่ไม่รู้จักตารางสูตรคูณ ทำการคำนวณที่ค่อนข้างยาว แยกย่อยออกเป็นงานย่อยจำนวนมาก บางทีนี่อาจเป็นหนึ่งในงานย่อยเหล่านั้น ง่ายที่จะเห็นว่าการคำนวณด้วยชิ้นงานดังกล่าวนั้นลำบากมากและไม่มีท่าทีว่าจะดี บางทีด้วยเหตุนี้ เราจึงไม่เห็นการสนับสนุนอันยิ่งใหญ่ของอียิปต์โบราณในการพัฒนาคณิตศาสตร์
กรีกโบราณและเลขคณิตเชิงปรัชญา
ความรู้มากมายเกี่ยวกับตะวันออกโบราณประสบความสำเร็จในการควบคุมโดยชาวกรีกโบราณ ผู้ชื่นชอบการสะท้อนนามธรรม นามธรรม และปรัชญาที่มีชื่อเสียง พวกเขาไม่ได้สนใจในทางปฏิบัติน้อยลง แต่เป็นการยากที่จะหานักทฤษฎีและนักคิดที่ดีที่สุด สิ่งนี้เป็นประโยชน์ต่อวิทยาศาสตร์ เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะเจาะลึกลงไปในเลขคณิตโดยไม่แยกมันออกจากความเป็นจริง แน่นอน คูณวัว 10 ตัวกับนม 100 ลิตรได้ แต่ไปได้ไม่ไกล
ชาวกรีกผู้คิดลึกทิ้งร่องรอยสำคัญไว้ในประวัติศาสตร์ และงานเขียนของพวกเขาก็มาถึงเราแล้ว:
- ยุคลิดกับธาตุ
- พีทาโกรัส
- อาร์คิมิดีส
- อีราทอสเทเนส
- เซโนะ
- อนาซาโกรัส
และแน่นอนว่าชาวกรีกที่เปลี่ยนทุกอย่างให้เป็นปรัชญา และโดยเฉพาะอย่างยิ่งผู้สืบทอดงานของพีธากอรัสรู้สึกทึ่งกับตัวเลขมากจนคิดว่าพวกเขาเป็นความลึกลับของความสามัคคีของโลก ตัวเลขได้รับการศึกษาและค้นคว้าจนถึงขนาดที่บางตัวและคู่ของพวกเขาได้รับมอบหมายคุณสมบัติพิเศษ ตัวอย่างเช่น:
- จำนวนเต็มคือจำนวนที่เท่ากับผลรวมของตัวหารทั้งหมด ยกเว้นตัวตัวเลข (6=1+2+3)
- เลขเด็ดคือเลขตัวหนึ่งเท่ากับผลรวมของตัวหารทั้งหมดของวินาที และในทางกลับกัน (ชาวพีทาโกรัสรู้เพียงคู่เดียวดังกล่าว: 220 และ 284)
ชาวกรีกที่เชื่อว่าวิทยาศาสตร์ควรได้รับความรักและไม่ได้อยู่กับวิทยาศาสตร์เพื่อผลกำไร ประสบความสำเร็จอย่างยิ่งใหญ่ด้วยการสำรวจ การเล่น และการเพิ่มตัวเลข ควรสังเกตว่างานวิจัยของพวกเขาไม่ได้ถูกใช้อย่างแพร่หลาย งานวิจัยบางชิ้นยังคงเป็น "เพื่อความงาม" เท่านั้น
นักคิดชาวตะวันออกในยุคกลาง
ในทางเดียวกัน ในยุคกลาง เลขคณิตเป็นหนี้การพัฒนาของคนรุ่นเดียวกันในตะวันออก ชาวอินเดียให้ตัวเลขที่เราใช้อย่างแข็งขันเช่นแนวคิด "ศูนย์" และรูปแบบตำแหน่งของแคลคูลัสซึ่งคุ้นเคยกับการรับรู้สมัยใหม่ จาก Al-Kashi ที่ทำงานใน Samarkand ในศตวรรษที่ 15 เราสืบทอดทศนิยมโดยที่หากปราศจากการคิดเลขคณิตสมัยใหม่ก็ยากที่จะจินตนาการได้
ในหลาย ๆ ด้าน ความคุ้นเคยของยุโรปกับความสำเร็จของตะวันออกเป็นไปได้ด้วยผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลี Leonardo Fibonacci ผู้เขียนงาน "The Book of the Abacus" ซึ่งแนะนำนวัตกรรมตะวันออก มันกลายเป็นรากฐานที่สำคัญของการพัฒนาพีชคณิตและคณิตศาสตร์ การวิจัย และกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ในยุโรป
เลขคณิตรัสเซีย
และสุดท้าย เลขคณิตซึ่งพบที่มาและหยั่งรากในยุโรปก็เริ่มแพร่กระจายไปยังดินแดนรัสเซีย เลขคณิตรัสเซียชุดแรกตีพิมพ์ในปี 1703 ซึ่งเป็นหนังสือเกี่ยวกับเลขคณิตโดย Leonty Magnitsky เป็นเวลานานมันยังคงเป็นตำราเรียนเล่มเดียวในวิชาคณิตศาสตร์ ประกอบด้วยช่วงเวลาเริ่มต้นของพีชคณิตและเรขาคณิตตัวเลขที่ใช้ในตัวอย่างในตำราเลขคณิตเล่มแรกในรัสเซียคือภาษาอาหรับ ถึงแม้ว่าตัวเลขอารบิกจะเคยเห็นมาก่อนแล้วก็ตาม แต่การแกะสลักตั้งแต่ศตวรรษที่ 17
ตัวหนังสือเองนั้นตกแต่งด้วยภาพของอาร์คิมิดีสและพีทาโกรัส และในแผ่นแรก - ภาพของเลขคณิตในรูปของผู้หญิง เธอนั่งบนบัลลังก์ภายใต้เธอเขียนเป็นภาษาฮีบรูคำที่แสดงถึงพระนามของพระเจ้าและบนขั้นที่นำไปสู่บัลลังก์คำว่า "การแบ่ง", "การคูณ", "การเพิ่มเติม" ฯลฯ จะถูกจารึกไว้ ที่ตอนนี้ถือว่าเป็นเรื่องธรรมดา
ตำรา 600 หน้าครอบคลุมทั้งพื้นฐานเช่นตารางการบวกและการคูณและแอปพลิเคชันสำหรับวิทยาศาสตร์การนำทาง
ไม่น่าแปลกใจที่ผู้เขียนเลือกภาพนักคิดชาวกรีกสำหรับหนังสือของเขา เพราะตัวเขาเองหลงใหลในความงามของเลขคณิต โดยกล่าวว่า "เลขคณิตเป็นตัวเศษ มีศิลปะที่ซื่อสัตย์ ไร้ที่ติ …". แนวทางเลขคณิตนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล เพราะเป็นการแนะนำอย่างกว้างขวางซึ่งถือได้ว่าเป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาความคิดทางวิทยาศาสตร์อย่างรวดเร็วในรัสเซียและการศึกษาทั่วไป
อันไพร์มไพรม์
จำนวนเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกเพียง 2 ตัว: 1 และตัวมันเอง ตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมด ยกเว้น 1 จะเรียกว่าคอมโพสิต ตัวอย่างของจำนวนเฉพาะ: 2, 3, 5, 7, 11 และอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่มีตัวหารนอกจาก 1 และตัวมันเอง
สำหรับหมายเลข 1 อยู่ในบัญชีพิเศษ - มีข้อตกลงที่ควรพิจารณาว่าไม่ง่ายหรือซับซ้อนง่ายในแวบแรก ตัวเลขธรรมดา ๆ ซ่อนความลึกลับมากมายที่ยังไม่แก้ในตัวเอง
ทฤษฎีบทของยุคลิดกล่าวว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน และ Eratosthenes ได้ประดิษฐ์ "ตะแกรง" เลขคณิตพิเศษที่ขจัดจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เหลือไว้เพียงตัวเลขธรรมดาเท่านั้น
สาระสำคัญคือการขีดเส้นใต้ตัวเลขตัวแรกที่ไม่ขีดฆ่า และต่อมาให้ขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของตัวเลขนั้น เราทำซ้ำขั้นตอนนี้หลายครั้ง - และเราได้ตารางจำนวนเฉพาะ
ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต
จากการสังเกตเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ควรกล่าวถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตด้วยวิธีพิเศษ
ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตบอกว่าจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ หรือสามารถแยกออกเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะตามลำดับของตัวประกอบได้
ทฤษฎีบทหลักของเลขคณิตได้รับการพิสูจน์แล้วว่าค่อนข้างยุ่งยาก และการเข้าใจว่ามันดูไม่เหมือนพื้นฐานที่ง่ายที่สุดอีกต่อไป
เมื่อมองแวบแรก จำนวนเฉพาะเป็นแนวคิดพื้นฐาน แต่ก็ไม่ใช่ ฟิสิกส์เคยถือว่าอะตอมเป็นธาตุพื้นฐาน จนกระทั่งพบทั้งจักรวาลอยู่ภายใน เรื่องราวที่ยอดเยี่ยมโดยนักคณิตศาสตร์ Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" ที่อุทิศให้กับจำนวนเฉพาะ
จาก "แอปเปิ้ลสามลูก" ถึงกฎหมายนิรนัย
สิ่งที่เรียกได้ว่าเป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์ทั้งหมดอย่างแท้จริงคือกฎของเลขคณิต แม้แต่ในวัยเด็ก ทุกคนต้องเผชิญกับเลขคณิต ศึกษาจำนวนขาและแขนของตุ๊กตาจำนวนของลูกบาศก์ แอปเปิ้ล ฯลฯ นี่คือวิธีที่เราศึกษาเลขคณิต ซึ่งจะเข้าสู่กฎที่ซับซ้อนมากขึ้น
ตลอดชีวิตของเราทำให้เราคุ้นเคยกับกฎของเลขคณิตซึ่งกลายเป็นสิ่งที่มีประโยชน์มากที่สุดสำหรับคนทั่วไปที่วิทยาศาสตร์มอบให้ การศึกษาตัวเลขคือ "เลขคณิต-ทารก" ซึ่งแนะนำบุคคลให้รู้จักโลกของตัวเลขในรูปแบบของตัวเลขในวัยเด็ก
เลขคณิตที่สูงขึ้นเป็นศาสตร์นิรนัยที่ศึกษากฎของเลขคณิต เรารู้จักพวกเขาเป็นส่วนใหญ่ แม้ว่าเราอาจไม่ทราบถ้อยคำที่แน่ชัดของพวกมัน
กฎของการบวกและการคูณ
เลขธรรมดาสองตัวใด ๆ a และ b สามารถแสดงเป็นผลรวม a+b ซึ่งจะเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย กฎหมายต่อไปนี้ใช้กับการเพิ่ม:
- สับเปลี่ยน ซึ่งบอกว่าผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ หรือ a+b=b+a.
- Associative ซึ่งบอกว่าผลรวมไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการจัดกลุ่มคำในสถานที่หรือ a+(b+c)=(a+ b)+ c.
กฎของเลขคณิต เช่น การบวก เป็นกฎพื้นฐานที่สุด แต่ทุกศาสตร์ก็ใช้กันอยู่แล้ว ไม่ต้องพูดถึงชีวิตประจำวัน
เลขธรรมดาสองตัว a และ b สามารถแสดงเป็นผลคูณ ab หรือ ab ซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน กฎหมายการสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงเดียวกันมีผลบังคับใช้กับผลิตภัณฑ์ในการเพิ่มเติม:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
ฉันสงสัยว่ามีกฎหมายที่รวมการบวกและการคูณที่เรียกว่ากฎการกระจายหรือการกระจาย:
a(b+c)=ab+ac
กฎหมายนี้สอนให้เราทำงานกับวงเล็บโดยการขยายวงเล็บ ดังนั้นเราจึงสามารถทำงานกับสูตรที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ นี่คือกฎหมายที่จะนำเราไปสู่โลกที่แปลกประหลาดและซับซ้อนของพีชคณิต
กฎของลำดับเลขคณิต
ตรรกะของมนุษย์ใช้ทุกวัน เปรียบเทียบนาฬิกากับการนับธนบัตร และยังต้องทำให้เป็นทางการในรูปแบบของสูตรเฉพาะ
ถ้าเรามีตัวเลขธรรมชาติสองตัว a และ b แล้ว ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นไปได้:
- a เท่ากับ b หรือ a=b;
- a น้อยกว่า b หรือ a < b;
- a มากกว่า b หรือ > b.
ในสามตัวเลือก มีเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้นที่ยุติธรรม กฎหมายพื้นฐานที่ควบคุมคำสั่งนี้ระบุว่า: ถ้า a < b และ b < c แล้ว a< c.
นอกจากนี้ยังมีกฎหมายเกี่ยวกับการคูณและการบวกด้วย: ถ้า a< เป็น b แล้ว a + c < b+c และ ac< bc.
กฎของเลขคณิตสอนให้เราทำงานกับตัวเลข เครื่องหมาย และวงเล็บ ทำให้ทุกอย่างเป็นซิมโฟนีที่กลมกลืนกันของตัวเลข
แคลคูลัสเชิงตำแหน่งและไม่ใช่ตำแหน่ง
พูดได้ว่าตัวเลขเป็นภาษาคณิตศาสตร์ ขึ้นอยู่กับความสะดวก มีระบบตัวเลขมากมาย ซึ่งก็เหมือนกับตัวอักษรของภาษาต่างๆ ที่ไม่เหมือนกัน
ลองพิจารณาระบบตัวเลขจากมุมมองของอิทธิพลของตำแหน่งที่มีต่อมูลค่าเชิงปริมาณตัวเลขในตำแหน่งนี้ ตัวอย่างเช่น ระบบโรมันไม่มีตำแหน่ง โดยที่แต่ละหมายเลขถูกเข้ารหัสด้วยอักขระพิเศษชุดหนึ่ง: I/ V/ X/L/ C/ D/ M เท่ากัน ตามลำดับ กับตัวเลข 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. ในระบบดังกล่าว ตัวเลขจะไม่เปลี่ยนคำจำกัดความเชิงปริมาณโดยขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่อยู่ในตำแหน่ง: อันดับแรก อันดับสอง ฯลฯ ในการรับตัวเลขอื่นๆ คุณต้องเพิ่มตัวเลขฐาน ตัวอย่างเช่น:
- DCC=700.
- CCM=800.
ระบบตัวเลขที่เราคุ้นเคยโดยใช้เลขอารบิคคือตำแหน่ง ในระบบดังกล่าว ตัวเลขของตัวเลขจะกำหนดจำนวนหลัก เช่น ตัวเลขสามหลัก: 333, 567 เป็นต้น น้ำหนักของหลักใด ๆ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่หลักนี้หรือหลักนั้นตั้งอยู่ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 8 ในตำแหน่งที่สองมีค่า 80 ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับระบบทศนิยม มีระบบตำแหน่งอื่น ๆ เช่น, เลขฐานสอง
เลขคณิตไบนารี
เราคุ้นเคยกับระบบทศนิยมซึ่งประกอบด้วยตัวเลขหลักเดียวและหลายหลัก ตัวเลขทางด้านซ้ายของตัวเลขหลายหลักมีความสำคัญมากกว่าตัวเลขทางด้านขวาสิบเท่า ดังนั้นเราจึงคุ้นเคยกับการอ่าน 2, 17, 467 เป็นต้น ส่วนที่เรียกว่า "เลขคณิตไบนารี" มีตรรกะและแนวทางที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ไม่น่าแปลกใจเพราะเลขฐานสองไม่ได้สร้างขึ้นสำหรับตรรกะของมนุษย์ แต่สำหรับตรรกะของคอมพิวเตอร์ หากเลขคณิตเกิดจากการนับวัตถุซึ่งถูกแยกออกจากคุณสมบัติของวัตถุเป็นเลขคณิต "เปล่า" เพิ่มเติม วิธีนี้ใช้ไม่ได้กับคอมพิวเตอร์ ที่จะสามารถแบ่งปันด้วยความรู้เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ บุคคลจึงต้องประดิษฐ์แบบจำลองแคลคูลัสดังกล่าว
เลขคณิตไบนารีใช้งานได้กับตัวอักษรไบนารีซึ่งประกอบด้วย 0 และ 1 เท่านั้น และการใช้ตัวอักษรนี้เรียกว่าระบบเลขฐานสอง
ความแตกต่างระหว่างเลขฐานสองกับเลขคณิตทศนิยมคือความสำคัญของตำแหน่งทางด้านซ้ายไม่ใช่ 10 อีกต่อไป แต่มี 2 เท่า เลขฐานสองอยู่ในรูปแบบ 111, 1001 เป็นต้น จะเข้าใจตัวเลขดังกล่าวได้อย่างไร? ลองพิจารณาหมายเลข 1100:
- หลักแรกทางซ้ายคือ 18=8 จำหลักที่สี่ซึ่งหมายความว่าต้องคูณด้วย 2 เราได้ตำแหน่ง 8
- หลักที่สอง 14=4 (ตำแหน่ง 4).
- หลักสาม 02=0 (ตำแหน่ง 2).
- หลักสี่ 01=0 (ตำแหน่ง 1).
- ดังนั้นหมายเลขของเราคือ 1100=8+4+0+0=12.
นั่นคือเมื่อย้ายไปยังตัวเลขใหม่ทางด้านซ้าย ความสำคัญของมันในระบบเลขฐานสองจะถูกคูณด้วย 2 และในรูปทศนิยม - ด้วย 10 ระบบดังกล่าวมีหนึ่งลบ: มันมากเกินไปการเพิ่มขึ้นใน ตัวเลขที่จำเป็นสำหรับการเขียนตัวเลข ตัวอย่างการแสดงตัวเลขทศนิยมเป็นเลขฐานสองสามารถดูได้ในตารางต่อไปนี้
เลขทศนิยมในรูปแบบไบนารีแสดงอยู่ด้านล่าง
ทั้งระบบฐานแปดและฐานสิบหกก็ใช้เช่นกัน
เลขคณิตลึกลับนี้
เลขคณิต "สองสอง" หรือความลึกลับของตัวเลขที่ยังไม่ได้สำรวจคืออะไร? อย่างที่คุณเห็น เลขคณิตอาจดูง่ายในแวบแรก แต่ความง่ายที่ไม่ชัดเจนนั้นเป็นการหลอกลวง เด็กก็สามารถเรียนร่วมกับน้านกฮูกจากการ์ตูน "Arithmetic-baby" และคุณสามารถดื่มด่ำกับการวิจัยทางวิทยาศาสตร์อย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับลำดับปรัชญาที่เกือบจะ ในประวัติศาสตร์ เธอได้เปลี่ยนจากการนับวัตถุมาเป็นการบูชาความงามของตัวเลข มีเพียงสิ่งเดียวที่รู้แน่นอน: ด้วยการสร้างสัจพจน์พื้นฐานของเลขคณิต วิทยาศาสตร์ทั้งหมดสามารถพึ่งพาไหล่ที่แข็งแกร่งของมันได้